Modelos directos, inversos y en los que tanto da
Continúo con esto que concluí con una discusión que me negué a resolver sobre la geometría de los errores.
Que es la manera de entender que los problemas directos e inversos no son exactamente el mismo. Digamos que no es una medida invariante frente a reflexiones del plano (que es lo que hacemos realmente al considerar el modelo inverso).
¿Pero y si medimos la distancia (ortogonal) entre los puntos $latex (x,y)$ y la curva $latex y = f(x)$ (o, equivalentemente, $latex x = f^{-1}(x)$)? Entonces daría (o debería dar) lo mismo.
Podemos ensayarlo usando el paquete onls, que nos proporciona exactamente eso.
Voilá (usando los datos de la entrada anterior):
mod_directo <- onls(y ~ exp(a * x + b),
start = list(a = 0.1, b = 0.1))
summary(mod_directo)
# Formula: y ~ exp(a * x + b)
#
# Parameters:
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# a 1.0107 0.1786 5.659 1.51e-07 ***
# b -0.4843 0.1188 -4.076 9.32e-05 ***
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error of vertical distances: 0.6124 on 98 degrees of freedom
# Residual standard error of orthogonal distances: 0.07816 on 98 degrees of freedom
#
# Number of iterations to convergence: 2
# Achieved convergence tolerance: 1.49e-08y
mod_inverso <- onls(x ~ (log(y) - b) / a, start = list(a = 0.1, b = 0.1))
summary(mod_inverso)
# Formula: x ~ (log(y) - b)/a
#
# Parameters:
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# a 1.02304 0.14805 6.910 4.92e-10 ***
# b -0.48512 0.08978 -5.403 4.59e-07 ***
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error of vertical distances: 0.873 on 98 degrees of freedom
# Residual standard error of orthogonal distances: 0.08608 on 98 degrees of freedom
#
# Number of iterations to convergence: 11
# Achieved convergence tolerance: 1.49e-08
