Un resultado probabilístico contraintuitivo (parte I)

A elige dos números con una distribución de probabilidad cualquiera,

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generador <- function() rlnorm(2, 3, 4)

y los guarda ocultos. A B le deja ver uno al azar (sin pérdida de generalidad, el primero). Y B tiene que decidir si el que ve es el más alto de los dos (en cuyo caso, gana un premio, etc.). Veamos a B actuar de manera naive:

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estrategia.naive <- function(observed) {
  sample(1:2, 1)
}

Dejemos a A y B jugar repetidamente a este juego:

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juego <- function(estrategia){
  x <- generador()
  choice <- estrategia(x[1])
  x[choice] == max(x)
}

res <- replicate(1e6, juego(estrategia.naive))
mean(res)

Pues sí, como cabe esperar, B tiene una probabilidad de .5 de acertar en el largo plazo.

Sin embargo, B tiene una estrategia superior a la de elegir al azar:

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otro_generador <- function() rexp(1, 1)
estrategia.guay <- function(observed){
  y <- otro_generador()
  ifelse(y > observed, 2, 1)
}

res <- replicate(1e6, juego(estrategia.guay))
mean(res)

Que me da una probabilidad de éxito aproximada del .65. La estrategia es la siguiente:

  1. B elige una distribución de probabilidad cualquiera (mañana matizaré qué levísimas restricciones operan sobre esta otra distribución)
  2. B toma un valor al azar $latex y$ de acuerdo con dicha distribución.
  3. Si el valor observado $latex o > y$, se queda con $latex o$; si no, se decanta por el otro que no ha visto.

Y funciona, tú.

Todo junto (por si quieres probar con otras distribuciones):

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generador <- function() rlnorm(2, 3, 4)

estrategia.naive <- function(observed){
  sample(1:2, 1)
}

juego <- function(estrategia){
  x <- generador()
  choice <- estrategia(x[1])
  x[choice] == max(x)
}

res <- replicate(1e6, juego(estrategia.naive))
mean(res)

otro_generador <- function() rexp(1, 1)
estrategia.guay <- function(observed){
  y <- otro_generador()
  ifelse(y > observed, 2, 1)
}

res <- replicate(1e6, juego(estrategia.guay))
mean(res)

Mañana, más sobre este problema.