Llevando la contabilidad de los grados de libertad
Esta entrada es una pequeña exégesis de esto:
Lo que se ve es el resultado del ajuste de una curva logística de cuatro parámetros a una serie de datos. En particular, voy a discutir qué es eso de la logística de cuatro parámetros, por qué el ajuste es bueno y qué tienen que ver los grados de libertad en todo esto.
La función logística de cuatro parámetros es la función logística de toda la vida,
$$f(x) = a + \frac{b - a}{1 + \exp(c(d - x))}$$
que lleva apareciendo por todas partes desde hace 200 años. Tiene una zona de crecimiento exponencial que acaba saturando. Sus cuatro parámetros corresponden cualitativamente a:
- la asíntota inferior,
- la asíntota superior,
- el punto de inflexión y
- la pendiente
¿Por qué el ajuste anterior es tan bueno? Tenemos 11 datos para ajustar cuatro parámetros; pero los primeros ocho solo nos informan —no estrictamente pero sí prácticamente— sobre la asíntota inferior. Quedan tres parámetros libres para los tres puntos adicionales.
Es relevante indicar que la discusión sobre este ajuste me ha llegado porque el usuario, el dueño de los datos, quiso fijar por algún motivo el nivel de la asíntota superior en 100. Y si fijas la asíntota superior y los ocho primeros puntos fijan la inferior, solo quedan disponibles dos grados de libertad a repartir entre tres observaciones. Cualquier cosa puede pasar —en particular, cuando es usa algún tipo de ajuste robusto— y todas son igualmente indefendibles.
Coda
Este artículo es relevante en tanto que ilustra cómo incluso en estos tiempos de big data, llevar con los dedos el debe y el haber de los grados de libertad ayuda a desentrañar los misterios de ciertos casos que le llegan a uno al correo.
