Probabilidad

Me quedé el otro día en el modelo probabilístico de los grafos aleatorios exponenciales. Quedaba una última parte y al ensayar su redacción me di cuenta de que me había metido en un huerto: la cosa es mucho más vasta de lo que a primera vista parecía.

Así que me limitaré a repasar lo más básico tratando de no meter demasiado la pata.

Tradicionalmente, se utilizaba para estimar los parámetros de un grafo la llamada técnica de la función de seudo-verosimilitud. Se ve que uno puede escribir

Ayer dejamos abierto el problema de la inferencia en grafos. La idea fundamental es la de suponer que un grafo determinado no es tanto un grafo en sí como una realización de un proceso aleatorio de generación de aristas entre un determinado número de nodos.

El planteamiento es análogo al que se hace con las series temporales: no es tan importante la serie en sí como el hecho de que pueda probarse que obedece a un modelo autorregresivo, ARIMA, etc.

En la reunión de usuarios de R de Madrid de ayer, Carlos Ortega estudió la distribución en el tiempo del número de bugs que aparecen en el código de R en cada versión. Indicó que es plausible que sigan una distribución de Rayleigh, relativamente frecuente en ese tipo de contextos. E indicó que esta distribución, no tan conocida, tiene que ver (he olvidado lo que dijo exactamente) con dos normales independientes.

Efectivamente, según la Wikipedia, la distribución de Rayleigh (de parámetro $latex \sigma$)admite la caracterización

Una de las preguntas formuladas dentro del foro desde el que seguimos la lectura del libro The Elements of Statistsical Learning se refiere a cómo construir la frontera bayesiana óptima en ciertos problemas de clasificación.

Voy a plantear aquí una discusión así como código en R para representarla (en casos simples y bidimensionales).

Supongamos que hay que crear un clasificador que distinga entre puntos rojos y verdes con la siguiente pinta,

Escribo desde mi retiro vacacional, en el hemisferio inhabitual, sin wifis y casi de memoria para completar la historia que comencé hace dos semanas en esta bitácora.

Tropecé con el juego que describí en el libro A Mathematician Plays The Stock Market, de John Allen Paulos. Y creo que se equivoca en las probabilidades de los juegos: si en lugar de las que indiqué en mi primera entrada utilizo las suyas, me da la impresión de que el tercer juego es perdedor. ¿Será un bug en el libro? (¿O es que la dislexia me volvió a confundir?)

Hablamos ya hace un tiempo de las micromuertes. Ahora toca traer a la atención de mis lectores un concepto asociado, el de las microvidas.

Una microvida corresponde a una esperanza de vida de media hora. Malgasta una microvida quien fuma dos cigarros, bebe siete unidades de alcohol (equivalentes a  un litro de cerveza) o vive un día con un sobrepeso de 5 kg.

Microvidas y micromuertes son conceptos análogos, pero no enteramente equivalentes. Ambos nos ayudan a cuantificar pequeños riesgos. Sin embargo, el efecto de las microvidas es acumulativo mientras que el de las micromuertes no: quien haya terminado vivo su sesión de parapente, habrá puesto a cero su contador de micromuertes, pero no así quien haya fumado su segundo cigarro.

Tal como prometí hace ahora una semana, voy a añadir las palabras que faltaban en aquella entrada. Pero primero, imaginad un bar en el que se venden cafés y cervezas. El coste de servir un café es de 1.10 euros pero se vende por 1. El coste de servir una cerveza es 1.30 euros pero se vende por 1.10. Entran los clientes y piden o café o cerveza. ¡Y resulta que a fin de mes el bar hace dinero!

Debo esta entrada a la diligencia de Juanjo Gibaja, que se tomó la molestia de ubicar los teoremas relevantes en el libro Simulation and the Monte Carlo Method de Rubinstein y Kroese.

Esencialmente, como la distribución normal multivariante (con matriz de covarianzas I) es simétrica, entonces, dadas $latex X_1,\dots, X_m \sim N( 0, I_n )$ independientes, los m puntos del espacion n-dimensional $latex X_i/| X_i |$ siguen una distribución uniforme sobre su esfera (su superficie, vale la pena reiterar) unidad.

Hoy voy a hacer mención a una cosa prodigiosa. Pero sin palabras. Voy a regalar a mis lectores tres pedazos de código que son este

jugar <- function( n, make.step ){
  tmp <- rep( 0L, n)
  for( i in 2:n )
    tmp[i] <- make.step( tmp[i-1] )
  tmp
}

juego.s <- function( x, prob.perder = 0.51 ){
  x + ifelse( runif(1) < prob.perder, -1L, 1L )
}

res.juego.s <- replicate( 1000, jugar( 1000, juego.s )[1000] )
hist( res.juego.s )
fivenum( res.juego.s )

este

juego.c <- function( x ){
  prob.perder <- ifelse( x %% 3 == 0, 0.905, 0.255 )
  juego.s( x, prob.perder )
}

res.juego.c <- replicate( 1000, jugar( 1000, juego.c )[1000] )

hist( res.juego.c )
fivenum( res.juego.c )

y este otro

Tenía guardado un enlace de un artículo del periódico sobre curiosidades de la lotería. Describe dos hechos curiosos:

• Que la terminación más repetida, el 5, ha aparecido 32 ocasiones en 201 gordos (se ve que ha habido 200 sorteos, pero un año hubo, cosas de la vida, dos gordos).
• Que dos números, el 15640 y el 20297 han sido gordos en dos ocasiones.

Una pregunta, pues, para mis lectores: ¿qué es más improbable, que la terminación más frecuente haya ocurrido en 32 (o más) ocasiones o que haya habido dos (o más) gordos repetidos?