Media

Me refiero muy impropiamente con histogramas con medias a algo parecido a

que son resúmenes de datos en los que aparecen no solo intervalos sino también las medias correspondientes a los sujetos dentro de esos intervalos.

Si uno quiere hacer cosas con esos datos tiene una vía que consiste en muestrear el histograma. Pero la media en cada intervalo será su punto central, no necesariamente su valor medio conocido.

Por simplificar, supongamos que tenemos datos en el intervalo [0, 1] cuya media es $latex \mu$. ¿Cómo obtener un muestreo razonable de valores en dicho intervalo?

Lo cuenta muy bien Todd Rose en How the Idea of a ‘Normal’ Person Got Invented.

Hay tres grandes eras en la estadística moderna:

• La queteliana, resumida en la imagen del hombre medio: existe un prototipo sobre el que, tal vez, se consideran variaciones. Es decimonónica, pero colea.
• La kamediana, que es una versión pizza partida en ocho de la anterior. Es de mitad del siglo pasado y perdura en paleomentes.
• La contemporánea, que contempla cada sujeto en su individualidad (aunque inserta en su circunstancia). Es propia del big data bien hecho.

Que se desenvuelva exige deshacer (¿cortar a tajos?) un par de nudos gordianos.

Aquí, contracorriente. Dejamos aparcado el big data y le damos a lo que nos da de comer. Entre otras cosas, este pequeño experimento con muy pequeños datos (¿tres?).

La aplicación es real. Y los datos pequeños porque son carísimos.

Se puede suponer que tienen distribución beta de parámetros desconocidos. Nos interesa la media muestral de unas pocas observaciones: dos, tres, cuatro,… En particular, qué distribución tiene.

Si fuesen muchos, podríamos aplicar el teorema central del límite (que funciona estupendamente incluso con valores no muy grandes). Pero la suma de pocas observaciones beta no tiene una distribución con nombre (que yo sepa). Pero podemos usar un viejo truco (parecido al de la aproximación de Welch para el número de grados de libertad de la prueba de Student cuando las varianzas son desiguales):

Aunque esta entrada es sin duda resabida de los más de mis lectores, quedarán los que aún no sepan que ciertas distribuciones no tienen media. Condición necesaria para que una distribución la tenga es que

$$ \int_{-\infty}^\infty |x| f(x) dx$$

tenga un valor finito, cosa que, por ejemplo, no cumple la de Cauchy. Igual hay a quien esto le parece una rareza matemática, un entretenimiento de math kiddies sin implicaciones prácticas. Además, porque para que que la integral anterior diverja se necesita que las distribuciones puedan tomar valores arbitrariamente altos y las que se manejan en la práctica están acotadas si no por el número de átomos del universo por el de céntimos de bolívar venezolano necesarios para comprar todas las cosas que caben en el ancho mundo.

La distribución lognormal es la exponencial de una distribución normal. Su media, Wikipedia dixit, es $latex \exp(\mu + \sigma^2 /2)$.

Dada una muestra de la distribución lognormal (y supuesto, por simplificar, $latex \mu=0$), podemos calcular

• su media y
• una estimación de su $latex \sigma$ y calcular $latex \exp(\sigma^2 /2)$

y uno pensaría que los valores deberían ser similares. Mas pero sin embargo,

library(ggplot2)

set.seed(123)

sigmas <- seq(1, 10, by = 0.1)

res <- sapply(sigmas, function(sigma){
  a <- exp(rnorm(1e6, 0, sigma))
  mean(a) / exp(var(log(a))/2)
})

tmp <- data.frame(sigmas = sigmas, medias = res)

ggplot(tmp, aes(x = sigmas, y = medias)) +
  geom_point() + geom_smooth()

produce

… (por motivos que importan pero no debo revelar a mis lectores) aprovecho para criticar a esos tipos que, vistiendo como yo, insisten reiteradamente a sus analistas en que les proporcionen un número. Un número que tiene que ser cerrado, indiscutible, pivotal.

A esos que gastan traje y corbata como yo hoy les horroriza la varianza. Le espantan, seguro, esos punticos que tan opotunamente coloca Kiko Llaneras alrededor de las medias de este estupendo

Del hombre medio (u homme moyen de Quetelet para los eruditos) ya hemos hablado antes: es un concepto decimonónico, de la época de los albores de la estadística, que permite argumentar alrededor de una construcción inexistente: el sujeto que está en la media de todo, la medida de la normalidad.

Pero buscad “factura media” en Google (entrecomillado) y veréis como en el siglo XXI todavía se argumenta alrededor de construcciones ideales similares. Para determinar si un servicio sube o baja de precio, reguladores, periodistas, asociaciones de consumidores, etc. examinan la facture moyenne.

El problema de hoy viene sugerido por la manera de encontrar un valor central –una medida de centralidad– en una serie de números $latex x_1,\dots, x_n$. A uno se le viene a la mente la media de dichos puntos, por supuesto. Pero la media no es sino el valor $latex \theta$ que minimiza

$$ \sum_i (x_i - \theta)^2.$$

En lugar de minimizar la distancia al cuadrado entre ese punto central y los de la serie, podríamos usar otras funciones. Es sabido que si tratamos de minimizar

Hoy he hecho limpieza de mi directorio de descargas. En él he encontrado unos cuantos PDFs de Eurostat, las habituales notas de prensa que resumen indicadores europeos por país (p.e, este o este).

Hojeando unos cuantos por encima no he podido dejar de advertir la excentricidad de España. Somos casi un outlier, se nos mire por donde se nos mire. Y cuando nos parecemos a algún otro país, es el equivocado.

Pensando sobre estas cosas me ha venido a la cabeza una idea sobre la que edificar una carrera política en otra vida: crear el Partido de la Media Ponderada. O el de la Media Ponderada y Windosorizada. Que tendría un único punto programático (y mandato): sea cual sea el asunto entre manos, acudir a Eurostat, bajar la tabla en cuestión, calcular la media (del tipo que sea) y convertir ese numerito en el objetivo de toda política. Más menos épsilon, claro.

El Banco Central Europeo publicó un estudio sobre la riqueza de los hogares europeos en abril de 2013. A partir de él, el Bundesbank publicó otro informe que subrayaba las diferencias en riqueza entre los hogares alemanes y, supongo que entre otros, los españoles.

El informe de BCE recogía la media y la mediana del patrimonio de los hogares por países (junto con otras variables adicionales, como la renta, el nivel de endeudamiento, etc.). Obviamente, las medias son superiores a las medianas en prácticamente todas esas variables. El Bundesbank, en su informe, omitía las medias y presentaba únicamente las medianas, magnitudes que contribuían a subrayar una presunta pobreza relativa de los hogares alemanes respecto a los españoles.