Rolle

Es fácil nunca dar con algo que no quieres encontrar: basta con buscarlo donde sabes que no está.

Eso es perfectamente predicable de todos los ensayos de los que tengo noticia para demostrar empíricamente la inexistencia —¡eh!, ¿no habíamos quedado en que que la inexistencia de algo no es demostrable empíricamente?— de ese corolario del teorema de Rolle que se ha dado en llamar curva de Laffer.

Hay que tener en cuenta que en una economía como la española —y más en estos tiempos—, casi el 100% de los agentes económicos operan muy por debajo de ese pico que postulan Laffer y Rolle. De hecho, uno puede ver cómo un porcentaje sustancial de los ocupados en España pertenecen a la categoría de subempleados por insuficiencia de horas.

Si $latex f$ es una función continua definida en un intervalo cerrado $latex [a, b]$, y derivable sobre el intervalo abierto $latex (a, b)$ y $latex f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un punto $latex c \in (a, b)$ tal que $latex f’(c) = 0$.

Tal es el enunciado del teorema (de Rolle). Que no dice ni dónde está ese punto, ni cómo encontrarlo ni cómo de complicado podría llegar a resultar. Pero es un teorema, con su demostración y todo.

El teorema de Rolle, que está en el programa de cálculo o análisis matemático de primero de cualquier carrera, dice que una función real $latex f$, continua, derivable y tal que $latex f(a) = f(b)$ tiene o un máximo o un mínimo en el intervalo $latex [a,b]$. La Wikipedia lo ilustra con el siguiente gráfico:

Supongo que no será muy díficil de probar este corolario suyo (y creo recordar que fue un ejercicio o problema de examen de aquella época mía de estudiante): una función real $latex f$, continua, derivable y tal que $latex f(a) = f(b)$ y $latex f^\prime(x) < 0$ en la proximidad de $latex b$ tiene un máximo absoluto en el intervalo $latex (a,b)$.