momo

momocalor

otros veranos

bernoulli

binomial

¿micromuertes?

• evento: don x está sano y vivo a las 8:00; a las 23:59 está en el tanatorio
• probabilidad: ~ 1 entre un millón (en países occidentales)

poisson

• es una aproximación a la binomial cuando $N$ es grande
• $N \times p$ es la tasa $\lambda$
• lo anterior es una caracterización útil de la poisson
• sobre todo, nos indica dónde y cómo se puede usar

dualidad binomial-poisson y micromuertes

• física: dualidad onda-partícula
• estadística / conteos: dualidad binomial-poisson
• por tanto, se puede decir que en españa se dan ~50 eventos como los de don x al día

hagamos física

$$N \sim \text{Pois}(\lambda)$$

y el problema consiste en estimar $\lambda$ a partir de datos (pista: la media es el emv)

fuera de la física…

• los sujetos son heterogéneos
• cada $N_i$ tiene su propia $\lambda_i$
• ¿?

glm

• cada $N_i$ tiene variables $x_{i1}, \dots x_{in}$

• glm: prácticamente la solución más sencilla

• el $\lambda_i$ de cada $N_i$ se estima como

  • función lineal de las $x_{i1}, \dots x_{in}$
  • y se le hace $\exp$ para garantizar $\lambda_i > 0$

$$N_i \sim \text{Pois}\left(\exp\left(a_0 + \sum_j a_j x_{ij}\right)\right)$$

digresión: infradispersión

infradispersión en rusia

sobredispersión

en momocalor

• cada $N_i$ (o día) tiene una distribución diferente

• las variables $x_{i1}, \dots x_{in}$ usadas no recogen toda la información necesaria para caracterizarlos

• recordad, en lm: $y_i = a_0 + \sum_j a_j x_{ij} + \epsilon_i$

• sin embargo, en glm

$$N_i \sim \text{Pois}\left(\exp\left(a_0 + \sum_j a_j x_{ij}\right)\right)$$

una formulación alternativa

$$\log(\lambda_i) \sim N\left(a_0 + \sum_j a_j x_{ij}, \,\sigma \right)$$

(o bien, $\log(\lambda_i) \sim a_0 + \sum_j a_j x_{ij} + \epsilon_i$)

$$N_i \sim \text{Pois}(\lambda_i)$$

Es decir, un modelo con dos fuentes de aleatoriedad: en la estimación de $\lambda$ y en la predicción.

implementación

• por supuesto, no en glm
• se puede plantear en lme4, stan, casi seguro en INLA,…
• se pueden consultar algunos ejemplos en mi blog

nota final

• me he centrado en modelos de poisson
• pero todo lo anterior aplica casi palabra por palabra al modelo logístico
• ¿no habéis notado que el modelo beta-binomial converge demasiado rápido?