La paradoja de Lord, de nuevo

Escribí sobre la paradoja de Lord en 2013 y luego otra vez, tangencialmente, en 2020. Hace poco releí el artículo de Pearl sobre el tema y comoquiera que su visión sobre el asunto es muy distinta de la mía, voy a tratar de desarrollarla.

Aunque supongo que es generalizable, la llamada paradoja de Lord se formuló inicialmente al estudiar y comparar datos antes/después. En su descripción original de mediados de los 60, había niños y niñas a los que se había pesado en junio y en septiembre. El problema (y la paradoja) aparecían al tratar de modelar esa variación de peso según el sexo.

Sin entrar en el análisis de los diagramas causales (si a alguien le interesan, que consulte el artículo de Pearl), existen dos modelos razonables:

el que llamaré A,

(después - antes) ~ sexo

y el que llamaré B,

después ~ tratamiento + antes

como en mi primera entrada sobre el asunto. De hecho, supe que había algo llamado paradoja de Lord al estudiar un problema parecido y para entender las diferencias entre ambas formulaciones. Porque —y en eso consiste la paradoja— dan resultados diferentes.

En el análisis de la paradoja de Lord me separo de la aproximación de Pearl en que, en lugar de fijarme en el diagrama causal, parto de un hipotético modelo verdadero. De hecho, simplificándolo todo un poco, este podría escribirse de la forma

después ~ f(tratamiento, antes)

donde f es una función no necesariamente lineal y se supone que existe un error, sea o no normal, que tiene en cuenta otras variables y circunstancias no recogidas en los datos. Este será el modelo C.

El modelo B puede entenderse como una aproximación al C —a través del desarrollo de Taylor de primer grado de f— que, entre otras cosas:

• Linealiza el efecto de las variables.
• Destruye sus interacciones.

Bajo el modelo C, pasar de 35 a 36 kg no es muy distinto de pasar de 45 a 46 kg. Uno puede pensar que el contexto exige algo así como unos _incrementos decrecientes_en la respuesta al antes, pero B carece de la suficiente expresividad matemática.

Peor aún es el modelo A, que es una simplificación de B en el que se fija a 1 el coeficiente de antes. Es decir, se trata de una simplificación no justificada de otra simplificación no justificada.

La paradoja de Lord, entonces, se desvanece. Se convierte en un artefacto producido por la sobresimplificación. Es como quejarse de que se ve todo oscuro al mirar por la ventana con gafas de sol: basta con quitárselas y, ¡voilá!

Coda:

En mi segunda entrada sobre la paradoja de Lord trataba el asunto de las diferencias en diferencias. Que tiene bastante que ver con el modelo A. De lo que se deduce que…