Sobre la función de riesgo en el análisis de la supervivencia
Tienes una función de supervivencia
y piensas que es posible aproximarla usando segmentos de exponencial usando primero una rejilla gruesa,
y luego cada vez más fina,
hasta que sean indistinguibles.
Las distintas aproximaciones son
$$ \hat{S}(t) = \exp\left(-\sum_{i \le n} \lambda_i \Delta - \lambda_n (t - t_n)\right)$$
donde $latex n$ es el índice del intervalo que contiene a $latex t$ los $latex \lambda_i$ son los coeficientes en los segmentos de exponencial. Esa expresión que converge a
$$ S(t) = \exp\left(-\int_0^t \lambda(x) dx\right)$$
y $latex \lambda(t) = -S^\prime(t) / S(t)$ como no es necesario demostrar.
Ah, y sí, $latex \lambda(t)$ es la función de riesgo.
Coda: entre otras cosas, queda evidenciado que la función de riesgo del decaimiento exponencial es constante.
PD: Por si alguien quiere jugar con el código que ha servido para pintar lo anterior,
S <- function(x) 1 - pweibull(x, 2, 5)
from = 0
to = 12
curve(S(x), from = from, to = to,
xlab = "t", ylab = "S(t)")
incr <- 1
for(init in seq(from, to, by = incr)){
a <- S(init)
b <- S(init + incr)
lambda <- - log(b / a) / incr
curve(S(init) * exp(-lambda * (x - init)),
from = init, to = init + incr,
col = "red", add = T)
}
curve(S(x), from = from, to = to,
xlab = "t", ylab = "S(t)", add = T)