Si $latex f$ es una función continua definida en un intervalo cerrado $latex [a, b]$, y derivable sobre el intervalo abierto $latex (a, b)$ y $latex f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un punto $latex c \in (a, b)$ tal que $latex f’(c) = 0$.
Tal es el enunciado del teorema (de Rolle). Que no dice ni dónde está ese punto, ni cómo encontrarlo ni cómo de complicado podría llegar a resultar. Pero es un teorema, con su demostración y todo.
¿Hasta dónde creéis que estoy de que cuando se hace divulgación matemática en la prensa diaria vuelvan a reciclarse las manidas historias del Gauss jovencito sumando 1:100, de por dónde sacaba Euler a pasear el perro o de si es posible calcular una raíz cúbica con regla y compás?
Si ha pasado algo interesante y de impacto en las matemáticas en los últimos tiempos (dentro de la última década, porfa), hágase el esfuerzo en replantearlo en términos asequibles y tráigase a la atención del lector. En cualquier caso, déjense esas historietas para los libritos de divulgación para adolescentes con ínsulas.
Tengo el sistema
$$ m = \frac{a}{a+b}$$ $$ v = \frac{ab}{(a+b)^2 (a+b+1)}$$
en los que alguien descubrirá cosas relativas a la distribución beta.
Interesa despejar $latex a$ y $latex b$. Pero solo soy un exmatemático perezoso, disléxico y con déficit de tiempo y atención. Así que tacacata y…
$$ a = \frac{-m^3 + m^2 - mv}{v}$$ $$ b = \frac{m^3 - 2m^2 + mv + m -v}{v}$$
Leía ¿Es muy difícil (estadísticamente) no dar ni una?, donde se discute la probabilidad de que $latex s(i) \neq i$ $latex \forall i$ cuando $latex s$ es una permutación. El problema está relacionado, como podrá ver quien visite el enlace, con la probabilidad de repetición del sorteo en el juego del amigo invisible.
Esta probabilidad converge, al crecer $latex n$, a $latex 1/e \approx 0.367879$. ¡0.367879! Eso es… eso es… ¡1 - .632…! Pero .632 es un número como de la familia y relacionado (consúltese el enlace) con el bootstrap.
[Tiempo después de la publicación de esta entrada hice otra, esta, en la que se ahonda en la función de pérdida usada en la reconstrucción del estilo o textura de las imágenes y que en esta serie no se trató con el detalle que el asunto requiere.]
En esta tercera entrada de la serie (aquí está la primera y la segunda) quiero ocuparme de las que llamé $latex f_1$ y $f_2$, las funciones involucradas. Que son las que obran la magia, por supuesto. Con casi cualquier otra opción se habría obtenido una patochada, pero estas son funciones especiales.
Siguiendo con el tema de la entrada de ayer, voy a tomar un vector $latex x_1$ tal como
y un vector $latex x_2$ como, por ejemplo,
para, con el concurso de unas funciones que revelaré mañana, obtener la siguiente mezcla de ambos:
Pas mal!
Arranco con esta una serie que estimo que será de tres entradas sobre cómo mezclar vectores con una aplicacioncilla que tal vez sorprenda a alguno.
Comenzaré fijando un vector $latex x_1 \in R^n$ y una función casi biyectiva $latex f_1:R^n \mapsto R^m$ todo lo suave (continua, diferenciable, etc.) que nos dé la gana. Casi no es un concepto matemático; el concepto propiamente matemático usaría el prefijo cuasi-, pero espero que se me permita seguir y prometo que lo que quiero dar a entender quedará claro más adelante.
En una página que no mencionaré (solo porque creo que en los comentarios hay soluciones) se propuso el siguiente problema: combinar los números 2, 3, 4 y 5 con las operaciones aritméticas (+, -, *, /) para obtener 18 como resultado.
Tal es el problema fácil.
El menos fácil: encontrar todas (¡ya sabemos que la suma conmuta!) las soluciones.
