Modelos Jerárquicos

I.

Hace un tiempo, reproduje el enunciado del siguiente teorema:

La suma de lognormales (independientes y con parámetros similares) es lognormal.

El teorema no es cierto. No puede serlo tanto por motivos teóricos como meramente empíricos. Es fácil

1. tomar 3000 muestras de una lognormal con parámetros cualesquiera,
2. sumarlos por tríos para obtener 1000 muestras $x_i$ de su suma,
3. ajustar la mejor lognormal que se ajusta a ellos (pista: si se usa MV, los parámetros ajustados son la media y la desviación estándar de $\log x_i$),
4. comparar las dos muestras (p.e., vía qqplots).

II.

Pero sí que es cierto que:

He intentado replicar los resultados de la entrada de ayer con GAM (vía mgcv) así (véase el enlace anterior para la definición de los datos):

library(mgcv)
modelo_gam <- gam(
    y ~ x + s(id, bs = "re"),
    data = datos,
    method = "REML",
    family = "poisson")

Y nada:

Error in gam(y ~ x + s(id, bs = "re"), data = datos, method = "REML", : Model has more coefficients than data

Sí, ya sé que tengo más variables que observaciones. Pero, ¿no es para eso que estoy usando efectos aleatorios?

Vuelvo a lo de Casillas inspirándome en el primer ejemplo de este artículo de Gelman et al.

El planteamiento es el siguiente: el número de paradas, $latex n_i$ que realiza el $latex i$-ésimo portero tiene una distribución binomial

$$ n_i \sim B(N_i, p_i)$$

donde $latex N_i$ es el número de disparos entre los palos y $latex p_i$ es la habilidad innata del portero. Estas habilidades innatas siguen una distribución dada, la de habilidades innatas de los porteros de primera división, que podemos suponer que sigue una distribución beta