Probabilidad

En Hypermind se está planteando esta cuestión:

A día de hoy, el S&P 500 está en 2830. La predicción está y viene estando aproximadamente alrededor de la regla de tres:

$$ \frac{s - 2000}{3000 - 2000} \times 100%$$

donde $latex s$ es la cotización del índice.

Y aquí vienen dos preguntas/ejercicios para mis lectores:

• Suponiendo que el S&P 500 se comportase como un movimiento browniano (sin drift), ¿sería precisa la regla anterior?
• ¿Y si los saltos no fuesen normales sino, p.e., de acuerdo con una t de Student?

… que la de “Algoritmos” y acatarrantes definiciones de “justicia”. Que es casi una versión de la anterior reduciendo la varianza de las betas.

Las dos poblaciones de interés tienen una tasa de probabilidad (o de riesgo, en la terminología del artículo original) de .4 y .6 respectivamente. Aproximadamente el 40% de los primeros y el 60% de los segundos tienen y = 1.

El modelo (el algoritmo) es perfecto y asigna a los integrantes del primer grupo un scoring de .4 y a los del segundo, de .6.

El otro día me entretuve pintando curvas de equiprobabilidad de la distribución de Cauchy (nota: debería haberlas llamado cuasicuasiconvexas en lugar de cuasiconvexas en su día). Pero la t es una_ cuerda tendida entre _la Cauchy y la normal y es instructivo echarles un vistazo a las curvas de equiprobabilidad según crecen los grados de libertad. Sobre todo, porque arrojan más información sobre la manera y el sentido en el que la t converge a la normal. Son:

Primero, las curvas de nivel:

x <- seq(-50, 50, length.out = 1000)

tmp <- expand.grid(x = x, y = x)
tmp$z <- log(dcauchy(tmp$x) * dcauchy(tmp$y))

ggplot(tmp, aes(x = x, y = y, z = z)) + stat_contour()

Lo de la cuasiconvexidad está contado aquí.

Las consecuencias estadísticas y probabilísticas, para otro rato.

Esta entrada es una contestación a

Pregunta: ¿qué opinaríais si os dijese que la probabilidad es algo subjetivo construido en base a nuestro conocimiento y que realmente solo existe a nivel subatómico?

Os lo creáis o no, es una discusión que suelo tener con mis alumn@s y que he recordado leyendo a Spiegelhalter

— BayesAna (Anabel Forte) 🏳️‍🌈🧚🏼‍♂️ (@AnaBayes) January 4, 2020

I.

Habrá quien sostenga que la geometría (plana, euclídea, por antonomasia) es subjetiva, que es una construcción de la mente, de cada mente. Igual queda todavía alguno de los que, por el contrario, creían que los triángulos equiláteros residen en una especie de edén donde tienen una existencia ideal y que nuestra mente, de alguna manera, se limita a reflejarlos.

Primero fue la r (runif, rnorm, rpois,…).

De la r surgió el histograma.

Y el histograma era casi siempre parecido.

Y aquello a lo que se parecía se llamó d (dunif, dnorm, etc.).

Y era bueno.

(Obviamente, debidamente normalizado con integral 1, algo sobre lo que afortunadamente la tontuna de las identidades culturales aún no ha protestado).

La p, una integral de la d, es una conveniencia que permite contestar rápido determinadas preguntas razonables y habituales.

Rootclaim es un portal donde la gente plantea preguntas como

plantea hipótesis como

se recogen evidencias y usando este método (leedlo, es sumamente aprovechable: usa la palabra bayesian 23 veces), llega a conclusiones tales como

Esta entrada responde y complementa Malditas proporciones pequeñas I y II_ _trayendo a colación un artículo que ya mencioné en su día y que cuelgo de nuevo: On the Near Impossibility of Measuring the Returns to Advertising. ¡Atención al teorema de la imposibilidad de la Super Bowl!

Y el resumen breve: cada vez estamos abocados a medir efectos más y más pequeños. La fruta que cuelga a la altura de la mano ya está en la fragoneta del rumano. Solo nos queda la morralla y cada vez va a costar más separar grano y paja.

, extraído de Verbal probabilities: Very likely to be somewhat more confusing than numbers, creo que es ya cultura general.

Pero me pregunto (y pregunto a mis lectores) si existirá algo parecido para el español. Que incluya, claro, expresiones del tipo “muy improbable”, etc. pero que se extienda también a otros métodos (que es la parte más interesante) de manifestar incertidumbre, como el uso del condicional (el PP recuperaría la alcaldía…) y otros que pueda haber.

Ayer alguien desconocía la distribución de probabilidad de Dirac. No sé ni si se llama así y no aparece en prácticamente ninguno de los manuales al uso.

Es una distribución de probabilidad aleatoria: concentra toda su masa en un punto determinado. Por ejemplo, en el nueve:

Y es útil por:

• Ser límite de cosas.
• Porque las distribuciones discretas (de la Bernoulli en adelante) son mezclas de variables aleatorias de Dirac.
• Porque los modelos con inflación de ceros (o de aquello de lo que estén inflados) son mezclas con variables aleatorias de Dirac.
• …

Va sobre lo de ayer. Hay una demostración de ese resultado contraintutivo aquí. Hay una referencia aquí. Existen discusiones sobre si este resultado se debe a Feller; si no lo es, bien pudiera haberlo sido; la verdad, es muy como de él.

Pero una cosa es la demostración y otra muy distinta, descontraintuitivizar el resultado. Para ello, escuchemos la siguiente conversación entre dos sujetos:

A: No has visto el cierre de la bolsa hoy, ¿verdad?

A elige dos números con una distribución de probabilidad cualquiera,

generador <- function() rlnorm(2, 3, 4)

y los guarda ocultos. A B le deja ver uno al azar (sin pérdida de generalidad, el primero). Y B tiene que decidir si el que ve es el más alto de los dos (en cuyo caso, gana un premio, etc.). Veamos a B actuar de manera naive:

estrategia.naive <- function(observed) {
  sample(1:2, 1)
}

Dejemos a A y B jugar repetidamente a este juego:

Hace unos años, cuando aún no me había avivado en estos temas, recibí una llamada que me puso muy contento: en un ayuntamiento de nosedónde reconocían mis muchos méritos estadísticos y computacionales y me invitaban a participar en una licitación a vaya Vd. a saber qué cosa. Pero, vamos, lo que pasaba, como tantísimas veces, es que tenían ya escogido a un proveedor y necesitaban a dos comparsas para salvar el trámite burocrático de contar con tres propuestas.