Más sobre la ley de Benford (II): la distribución de la parte fraccionaria

Continuamos hoy nuestra serie sobre la llamada ley de Benford discutiendo la distribución de la parte fraccionaria de las muestras de una distribución.

La parte fraccionaria de un número es, para entendernos, lo que va detrás de la coma. Técnicamente, x - floor(x). ¿Le sorprendería a alguien la parte fraccionaria de una secuencia aleatoria de números no tenga una distribución uniforme sobre [0,1)?

Obviamente, si los números son enteros no. ¿Pero si siguen la distribución normal? Se puede probar, de hecho, que si la serie sigue una distribución de probabilidad que sea

  • regular, es decir, que no tenga picos extraños y, más en concreto, cuya función de densidad crezca hasta cierto punto y decrezca de él en adelante y
  • extendida, es decir, que cubra un rango amplio de valores (p.e., la recta real entera),

entonces la distribución de la parte fraccionaria de sus muestras serán aproximadamente uniformes. Y lo serán tanto más cuanto menor sea el máximo de la función de distribución. La referencia, el artículo Pourquoi la loi de Benford n’est pas mystérieuse de Nicolas Gauvrit y Jean-Paul Delahaye.

Esto se verifica fácilmente en ciertos casos. Por ejemplo,

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x <- rnorm(100000)
x <- x - floor(x)

par(mfrow=c(1,2))
hist(x, col = "grey")
qqplot(x, runif(100000), main = "qqplot")

que produce

En la siguiente entrega analizaremos qué tiene que ver esto con la ley de Benford.