Mezclas de vectores (I): casi todas las matemáticas de la cosa

Arranco con esta una serie que estimo que será de tres entradas sobre cómo mezclar vectores con una aplicacioncilla que tal vez sorprenda a alguno.

Comenzaré fijando un vector $latex x_1 \in R^n$ y una función casi biyectiva $latex f_1:R^n \mapsto R^m$ todo lo suave (continua, diferenciable, etc.) que nos dé la gana. Casi no es un concepto matemático; el concepto propiamente matemático usaría el prefijo cuasi-, pero espero que se me permita seguir y prometo que lo que quiero dar a entender quedará claro más adelante.

Construyo entonces la función $latex h(x, x_1, f_1) = |f_1(x) - f_1(x_1) |$ y busco su mínimo (que bien pudiera ser local) mediante cualquier técnica al uso. Cabe esperar que ese mínimo, $latex \hat{x}_1$ sea parecido a $latex x_1$. Si la función fuese biyectiva y el método de minimización perfecto, $latex \hat{x}_1 = x_1$ y todo sería aburridoramente perfecto. Afortunadamente para lo que sigue, no va a ser así el caso.

Tomo un segundo vector $latex x_2$ y otra función $latex f_2$ similar a la anterior y defino, para un valor $latex \alpha \in [0,1]$ la función

$$ h(x, \alpha, x_1, f_1, x_2, f_2) = \alpha h(x, x_1, f_1) + (1-\alpha) h(x, x_2, f_2)$$

¿Qué cosa esperamos de su mínimo? Tiene que ser algo que se parezca a la vez a $latex x_1$ y a $latex x_2$, una especie de mezcla de ambos vectores.

¿No es increíble? No, no lo es en absoluto. Pero mostraré mañana cómo se le puede sacar punta a la idea de una manera sorprendente.