Diagramas causales hiperbásicos (III): mediadores

Estadística, Causalidad

Esta es la tercera entrada de la serie sobre diagramas causales hiperbásicos, que, como la segunda, no se entenderá sin —y remito a— la primera que define el contexto, objetivo e hipótesis subyacentes de la serie completa. Además, sería conveniente haber leído la segunda.

Esta vez, el diagrama causal es una pequeña modificación del de la anterior:

Ahora, la variable $X$ influye sobre $Y$ por dos vías: directamente y a través de $Z$. Variables como $Z$, conocidas como mediadores son muy habituales. Uno podría pensar que, realmente, ninguna $X$ actúa directamente sobre ninguna $Y$ sino a través de una serie de mecanismos que involucran a variables intermedias $Z_1, \dots, Z_n$ que constituyen una cadena causal. Puede incluso que se desencadenen varias de estas cadenas causales que transmitan a $Y$ la potencia de $X$. Que hablemos de la influencia causal de $X$ sobre $Y$ es casi siempre una hipersimplificación de la realidad.

Como en las entradas anteriores de la serie, voy a volver a simular datos para comparar las regresiones Y ~ X e Y ~ X + Z:

x <- rnorm(n)
z <- .8 * x + rnorm(n)
y <- .5 * x + .2 * z + rnorm(n, 0, .1)

Incluyendo Z, es decir, ajustando lm(Y ~ X + Z), se obtiene

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.002671   0.003127  -0.854    0.393
x            0.503470   0.004018 125.305   <2e-16 ***
z            0.195947   0.003145  62.302   <2e-16 ***

Residual standard error: 0.09877 on 997 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9811,	Adjusted R-squared:  0.9811
F-statistic: 2.588e+04 on 2 and 997 DF,  p-value: < 2.2e-16

que identifica correctamente los coeficientes del modelo generativo. Sin embargo, si se omite Z, i.e., ajustando lm(Y ~ X), se obtiene

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.003313   0.006913  -0.479    0.632
x            0.666681   0.006736  98.976   <2e-16 ***

Residual standard error: 0.2184 on 998 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9075,	Adjusted R-squared:  0.9075
F-statistic:  9796 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

donde el coeficiente de X se ha estimado como $.66$. Podría parecer un sesgo, pero no lo es: $.66$ es el efecto total de X sobre Y. Es decir, la suma del efecto directo, $.5$ y el efecto indirecto, $0.2 \times 0.8$ a través de Z.

Hasta aquí todo correcto.

Sin embargo, la causalidad (y el gráfico causal que aparece en la entrada) son conceptos metaestadísticos. Al fin y al cabo, el conjunto de datos (X, Y, Z) creado no deja de ser una variable normal tridimiensional con media cero y matriz de covarianzas

cov(cbind(x, z, y))
#           x         z         y
# x 1.0560331 0.8651563 0.7009087
# z 0.8651563 1.7489359 0.7780376
# y 0.7009087 0.7780376 0.5149983

Por tanto, alguien podría haber argumentado que el verdadero modelo generativo es

z2 <- rnorm(n, 0, sd(z))
m  <- lm(x ~ z)
x2 <- coef(m)[2] * z2 + rnorm(n, 0, sd(residuals(m)))
y2 <- .5 * x2 + .2 * z2 + rnorm(n, 0, .1)

que también da lugar a una variable normal tridimensional de media cero y matriz de covarianzas

cov(cbind(x2, z2, y2))
#           x2        z2        y2
# x2 1.1087920 0.9406288 0.7431180
# z2 0.9406288 1.8412636 0.8371988
# y2 0.7431180 0.8371988 0.5485281

pero donde se invierte la relación causal entre X y Z y esta última variable se convierte en un confusor (como en la segunda entrada de la serie). En tal caso, la regresión que incluye Z,

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.003360   0.003146  -1.068    0.286
x2           0.499728   0.003862 129.380   <2e-16 ***
z2           0.202869   0.003038  66.772   <2e-16 ***

Residual standard error: 0.09944 on 997 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9801,	Adjusted R-squared:  0.9801
F-statistic: 2.456e+04 on 2 and 997 DF,  p-value: < 2.2e-16

seguiría dándose por buena. Sin embargo, la que la excluye, es decir, Y ~ X,

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.006290   0.007354  -0.855    0.393
x2           0.654061   0.007235  90.398   <2e-16 ***

Residual standard error: 0.2325 on 998 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8912,	Adjusted R-squared:  0.8911
F-statistic:  8172 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

que vuelve a generar aproximadamente el mismo coeficiente que antes, i.e., aproximadamente $.66$, sería descartada por sesgada por los motivos planteados la semana pasada.