Bayesianismo y frecuentismo bajo la óptica de la teoría de la decisión, II
[Esta es la segunda de una serie de tres o cuatro entradas sobre el tema que se anuncia en el título.]
Terminó la primera entrada de la serie reconociendo que aún no se había entrado en materia estadística, que para ello habría que hablar de datos. Y, en efecto, la estadística principia cuando, por decirlo de manera sugerente aunque breve e imprecisa, $\theta$ genera unos datos $X$ que proporcionan pistas sobre su naturaleza.
En particular, se obtienen unos datos $X \sim F(\theta)$ que pueden ser usados en la estimación de $\theta$, es decir, que $\hat{\theta}$ es función de $X$ (y, posiblemente, de más cosas). Por fijar ideas, ahora $\theta$ ya no es un valor sino tal vez un procedimiento (p.e., tomar la media de los valores $X$) y la expresión
$$L(\hat{\theta}) = E_\theta[L(\theta, \hat{\theta})] = \int_\theta L(\theta, \hat{\theta}) p(\theta) d\theta$$
de la entrada anterior se convierte sea en
$$L(\hat{\theta}) = E_\theta[E_X[L(\theta, \hat{\theta})]]$$
o en
$$L(\hat{\theta}) = \int_\theta \int_X L(\theta, \hat{\theta}) p(X | \theta) p(\theta) dX d\theta,$$
cuyo mínimo he visto llamar en alguna ocasión error de Bayes (aunque en su interpretación más habitual es otra cosa; y aunque en algunos casos, como los que veremos, ambas definiciones coinciden).
La peculiar manera en la que se resuelvan el anterior problema de minimización da lugar a las dos grandes perspectivas dentro de la estadística (y explica, además, por qué en cierto sentido solo puede haber dos; aunque también cómo y por qué pueden surgir perspectivas híbridas, tipo Bayes objetivo, los modelos de efectos aleatorios, etc.), la frecuentista y la bayesiana.
