Probabilidad

La paradoja de Bertrand se formula así: tómense una cuerda al azar en una circunferencia; ¿cuál es la probabilidad de que sea más larga que el lado del triángulo equilátero inscrito?

Bertrand resolvió el problema de tres maneras distintas obteniendo tres resultados distintos: 1/2, 1/3 y 1/4. ¿Es eso una paradoja?

La paradoja es consecuencia de que no existe una definición única de cuerda al azar, algunas de las cuales acaban dando más peso a cuerdas más largas y otras menos. En resumen, hay varias maneras razonables de muestrear cuerdas de circunferencias y los resultados pueden ser distintos.

¿Os acordáis del problema de la carta del otro día? Lo extraje del libro Risk Savvy de G. Gigerenzer.

Uno de los grandes temas del libro es la distinción entre riesgo e incertidumbre. Se decanta por la perspectiva de Knight discutida en el enlace anterior: en situaciones de riesgo, la distribución de probabilidad es conocida (p.e., juegos de azar) y el aparataje probabilístico puede ser aplicado en su entera potencia matemática. En situaciones de incertidumbre, la situación es distinta y de poco o nada sirven los formalismos.

Hay tres cartas. Una de ellas tiene ambas caras rojas; otra, ambas azules; la última, una roja y una azul. Al azar, te ponen una sobre la mesa. La cara que ves es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara que no ves sea también roja?

—¿Cara (H) o cruz (T)?

—Sí.

Lo siento, ese era otro chiste. Comienzo de nuevo.

—¿Cara (H) o cruz (T)?

—No me fío porque tu moneda es trucha. Salen más H (o T) que T (o H, tanto da).

—Aun así podemos plantear un juego justo.

—¿Cómo?

—Cada uno elige HT o TH. (i) Se tira la moneda dos veces. Si sale HH o TT, GOTO (i). Si sale otra cosa, gana quien haya elegido tal combinación.

Supongamos que los habitantes de un país tienen una probabilidad determinada (y no necesariamente igual) $latex p_i$ de comprar un determinado producto. Supongamos que se lanza una campaña publicitaria que incrementa en una cantidad fija $latex \epsilon$, p.e., 5%, esa probabilidad.

Supongamos, finalmente, que se trata de una cantidad que se desea estimar.

Unos individuos reciben la campaña publicitaria. Otros no. ¿Cuál es la diferencia entre las proporciones de individuos que compran el producto en uno y otro grupo? ¿$latex \epsilon$? ¿Es esa nuestra mejor estimación?

¿Qué significa que [los servicios meteorológicos digan que] hay un 30% de probabilidad de que llueva mañana? Pues resulta que significa distintas cosas para distintas personas, al menos, según A 30% Chance of Rain Tomorrow: How Does the Public Understand Probabilistic Weather Forecasts?

En ese artículo Gigerenzer y sus coautores proponen a una muestra de sujetos las opciones siguientes:

• Mañana lloverá el 30% del tiempo.
• El 30% de los días que siguen a uno como el de hoy, llueve.
• Lloverá en el 30% de la zona

El artículo existe precisamente porque la opción elegida por muchos de los entrevistados no es la que conocen mis lectores sin necesidad de reverlársela.

Esta entrada trata de cuadrados. Tales como estos

Son dos cuadrados de area 10 y 2.

En realidad, mi entrada trata de una configuración de cuadrados solo marginalmente más complicada, esta:

Todo el mundo podría decir (y es cierto) que el área de la intersección de los cuadrados es el 3.3% de la del mayor y el 16.5% de la del menor. Son dos afirmaciones ambas ciertas y, por supuesto, compatibles.

Uno espera la media de un número suficiente de variables aleatorias razonablemente iid tenga una distribución normal. Uno casi espera siempre obtener ese aburrido histograma cada vez que remuestrea medias. La gente dice que el teorema central del límite rige necesariamente cuando su tamaño muestral es del orden de magnitud del bruto anual de un gerifalte. Etc.

Pero a veces uno tropieza con distribuciones bootstrap tales como

que le hacen recordar que existe un universo más allá de las hipótesis de esos teoremas tan manidos; que la teoría, al final, solo llega hasta donde llega y que, en definitiva, hay que estar siempre alerta y desconfiar del rituales y automatismos.

Un tipo me pasó el librito de Pearl, Causality, y se ha pasado varios días dando la vara con que si me había leído ya el epígrafe. Pues sí, lo he leído este finde. Y no solo lo he leído sino que voy a escribir sobre ello.

Había tratado de leer cosas de Pearl en el pasado. Pero las encontraba demasiado llenas de letras difíciles de comprender si no se entendían bien las fórmulas. Que, a su vez, eran difíciles de comprender sin tener una idea clara de qué indicaban los diagramas adjuntos. Para cuya comprensión había que hacerse bien con el texto. Vamos, que nunca había sacado nada en claro. Aunque, confieso, la coyuntura en la que suelo leer ese tipo de cosas (metros, trenes, autobuses) tampoco me ayuda.

Todo el mundo habla últimamente de cadenas de Markov. ¿No os habéis dado cuenta? ¿O seré yo el que saca a relucir el asunto venga o no al caso? Sea que se haya puesto de moda o que esté mi misma obsesión por el asunto sesgando mi impresión sobre sobre (me encanta escribir dos preposiciones seguidas) lo que la gente habla, es el caso que el otro día me comprometí a escribir sobre