Probabilidad

Uno tiene —o tuvo— dioses. Sentir admiración por alguien (y su obra) tiene, lo admito, una dimensión infantil. Es también, por supuesto, una sobre simplificación de la realidad. Porque la verdad no la escriben cuatro plumas: las ideas valiosas emergen por doquier. Desafortunadamente, nadie tiene tiempo para filtrar el flujo diario de noticias, libros, conceptos. Así que creo que es excusable que, por simplificar, uno eleve personal y subjetivamente a una serie de individuos a la categoría de dioses, de encargados de filtrar la información. De alguna manera, se conviertan en oráculos personales que desentrañan la complejidad del día a día y se convierten en fuente de preguntas y acaso respuestas.

Pues eso, que me piqué —y parte de la culpa la tiene este sujeto— con el otro problema del cumpleaños y he aquí el código —exacto salvo redondeos, no mediante simulaciones— que he usado para resolverlo:

f <- function(n, k = 365, v = NULL){

  if(is.null(v))
    v <- c(1, rep(NA, k))

  res <- 1

  for(j in (k-1):1){
    v[k-j] <- ifelse( is.na(v[k-j]), f(n, k-j, v), v[k-j])
    res    <- res - choose(k,j) * ((k-j)/k)^n * v[k-j]
  }

  res
}

f(2287)
#0.5003708
f(2286)
#0.4994142

Lo que hay al final son los ensayos últimos de mi mecanismo de cutrebúsqueda binaria para acotar la solución usando la función f. Esta función calcula la probabilidad de que una distribución aleatoria de n bolas en k urnas no deje vacía nunguna de ellas.

Nunca he entendido eso de los odds. Me refiero a eso que mencionan las películas: ocho contra uno a favor de tal, cinco contra tres a favor de cual. Y no creo que sea el único al que le son ajenos. De hecho, la página de la Wikipedia en español correspondiente a la inglesa para odds se refiere a ellas como cuotas, término que jamás hasta hoy había visto así usado. Tampoco lo han visto, se concoce, los lexicógrafos de la RAE.

Hay un problema famoso sobre cumpleaños cuya respuesta es 23. Hoy propongo otro relacionado.

Todos los días entras a Facebook y miras cuáles de tus amigos cumplen años para enviarles una felicitación. La pregunta es: ¿cuál es el número mínimo de amigos que tienes que tener para que con una probabilidad mayor de 0.5 tengas que felicitar a alguien cada día del año?

Addenda: Véase esto.

El problema fue sugerido por Eloy Ortiz en un mensaje a r-help-es. Quería saber cómo muestrear aleatoriamente (i.e., uniformemente) puntos sobre una región de la superficie terrestre delimitada por su bounding box (i.e., las coordenadas que definen un rectángulo sobre la esfera).

Obviamente, no vale con muestrear latitud y longitud uniformemente: el área comprendida entre dos meridianos cerca del ecuador es mayor que la comprendida entre otros dos más próximos al polo. Los husos se estrechan lejos del ecuador.

Quien haya estudiado estadística o probabilidad en algún tipo de institución que ofrece educación reglada se habrá topado con el problema de estimar el número de peces de un lago.

Esencialmente, lo que puede hacerse (dado que es imposible realizar un censo completo) es lo siguiente:

• Pescar cierto número de peces, p1, marcarlos y devolverlos al lago.
• Pescar cierto número de peces, p2, y contar cuántos de ellos fueron marcados el día anterior, n.
• Estimar el número de peces como p1 * p2 / n (dado que la proporción de peces marcados en el lago, p1 / x debiera ser similar a la de pescados el segundo día, n / p2).

Con R puede hacerse una estimación (incluso del error), así:

El tuit

de John Allen Paulos me indujo a escribir

number.numbers <- function(n){
  sum(cumsum(sample(0:n)) < n) + 1
}

res <- replicate(10000, number.numbers(1000))

código con el que, efectivamente, puede comprobarse que la media es, efectivamente, e.

Ahora bien, ¿alguien se atreve a explicar por qué?

(No leas esta pista: (s??)?s??).

Sigo sin estar fino para hacer entradas interesantes. Así que de nuevo me voy a limitar a ejercer de divulgador de lo ajeno. Y hoy le corresponde el turno al Statistics Online Computational Resource, un portal nacido con el objetivo de fomentar el conocimiento de la estadística y la probabilidad en línea.

Podría abundar sobre los recursos disponibles en SOCR, pero prefiero ahorrar mi tiempo y el de mis lectores invitándolos directamente a visitarlo y comprobarlo por sí mismos.

Si quieres comparar tu nivel de alfabetización numérica con una muestra de personas con estudios universitarios de muchas partes del mundo, puedes realizar este test.

Se lo llama Berlin Numeracy Test y está descrito en este artículo. Y de él extraigo una tabla, la cinco,

en la que aparecen los resultados del test en función de la combinación de país e idioma y ordenados por el porcentaje de respuestas en los cuartiles superiores. Y no me llena ni de orgullo ni de satisfacción, la verdad sea dicha.

Un truco para generar variables aleatorias normales: sumar doce uniformes y restar seis.

En efecto,

x <- replicate(1000, sum(runif(12)) - 6)
qqnorm(x)
qqline(x, col=2)

produce

Ayuda a entender el motivo que la varianza de la distribución uniforme es 1/12 y que su media es 1/2.