Estadística Bayesiana

Por un lado, nos enseñan que para descontar flujos de caja futuros tenemos que usar la función exponencial —para una determinada tasa de descuento o, en algunos contextos, tipo de interés—:

$$\text{valor presente} = A \exp(-tr)$$

donde $A$ es una cierta cantidad que recibiremos en el momento futuro $t$ y donde $r$ es nuestra tasa de descuento.

Por otro lado, experimentos de la sicología y la economía conductual, parecen indicar que la gente se tiende a regir por una regla distinta, la del llamado descuento hiperbólico

Aunque lo publiqué ya hace unos días, aquí llega formalmente el anuncio de mi vídeo sobre chatGPT:

Tiene una primera parte en la que hablo de cosas que hace bien, regular y mal y una segunda en la que investigo su dimensión moral.

El vídeo que anuncio hoy,

lleva ya un tiempo colgado. Pero se me ha interpuesto la serie sobre la explicación y justificación del bayesianismo y frecuentismo y he retrasado su noticia.

De todos modos, es oportuno porque en el vídeo hago referencia a cosas que, cuando se rodó, aún no estaban ni escritas ni publicadas pero que el lector interesado encontrará en esa serie.

En las encuestas a las que estamos acostumbrados se le pregunta a la gente cosas del tipo: ¿tiene Vd. perro? Luego, las respuestas se tabulan, etc. y se publican los resultados.

Pero en otras —por ejemplo, en la Encuesta de percepción de la ciencia y la tecnología en España— se preguntan cosas como: ¿vivieron los primeros humanos al mismo tiempo que los dinosaurios? Y allí no se trata de averiguar qué es lo que responde la gente sino, más bien, cuánta gente sabe la respuesta.

Cuestiones que no vienen al caso me empujaron finalmente a escribir una entrada que llevaba creo que años aparcada: ilustrar el uso del filtro de Kalman desde una perspectiva explícitamente bayesiana, luego accesible.

Introducción

Esto va, en resumidas cuentas, de mejorar la precisión de un sensor (un GPS, p.e.) que proporciona información ruidosa sobre la posición de un objeto que se mueve en el espacio obedeciendo ciertas ecuaciones. En particular, voy a utilizar el caso de un móvil que parte del origen ($x_0 = 0$), con una velocidad inicial de $10$ y que está sometido a una aceleración constante de $-0.3$.

Siempre he tenido la sensación de que las posterioris convergen demasiado rápidamente. Fue, de hecho, la primera objeción que hizo el cliente hace ya muchos, muchos, años a los resultados de mi primer proyecto puramente bayesiano y desde entonces guardo la espinita clavada.

Por eso me siento reivindicado por What’s wrong with Bayes, una entrada de Andrew Gelman en su blog y en la que discute una inferencia ridícula. Es la siguiente:

No hace falta que cuente aquella historia del tablero de ajedrez, los granos de trigo, etc. ¿verdad? (Desavisados: leed esto.) La entrada de hoy se ocupa de un problema dual: el número de granos de trigo será fijo, pero hay que repartirlo en un número explosivamente creciente de casillas.

Imagina ahora que quieres ajustar un modelo bayesiano usando MCMC. Imagina que tienes 1, 2, 3,… variables. Imagina el espacio de dimensión $n$ definido por dichas variables. El número de cuadrantes es $2^n$.

Dicen algunos —bueno, más bien, lo suelo decir yo— que la intersección de lo nuevo, lo interesante y lo cierto es el conjunto vacío. Ahora, N. Taleb nos regala una página en el que trata novedosamente un tema que lleva siendo intereante desde, al menos, lo puso encima de la mesa el reverendo (Bayes) hace 250 años. Ergo…

Veamos qué nos cuenta. Se plantea el problema de unos experimentos (independientes) de Bernoulli con probabilidad de ocurrencia desconocida $p$. Hay $n$ ensayos y $m$ éxitos. Y afirma que el mejor estimador es

Mi primer contacto con la obra de Mario Bunge fue en mi época de estudiante en Zaragoza. Por algún motivo —probablemente, porque en aquella época repasar los lomos de los libros en las bibliotecas y librerias era el equivalente al perder el tiempo en internet de hogaño— cayó en mis manos un libro suyo. Solo recuerdo que leerlo requirió más empeño que aprovechamiento trujo a aquel chaval de provincias.

El segundo —hará un par de años— fue una grabación de una conferencia que dio en Buenos Aires. La guardé en algún lugar para comentarla en estas páginas porque de todo lo que contaba en una hora no alcancé a darle la razón —más bien, el beneficio de la duda— más que en que llovía en Buenos Aires esa tarde. Desafortunadamente, no he podido dar otra vez con ella.

[Del que ya hablé hace un tiempo desde una perspectiva diferente.]

Prioris

A y B (dos personas) tienen la misma priori Beta(1, 1) —que es uniforme en [0, 1]— sobre la probabilidad de cara de una moneda.

Datos

Entonces A presencia una tirada de la moneda (a la que no asiste B) y es cara. Su priori se actualiza a una Beta(1, 2).

Luego B presencia una tirada de la moneda (a la que no asiste A) y es cruz. Su priori se actualiza a una Beta(2, 1).

Esta es una cosa bastante contraintituiva. Uno diría que en la moda, pero no es exactamente así.

Veamos qué pasa con la distribución normal conforme aumenta la dimensión.

En una dimensión son más frecuentes los valores próximos al centro:

hist(abs(rnorm(10000)), breaks = 100,
    main = "distribución de la distancia al centro")

Pero en dimensiones más altas (p.e., 10), la cosa cambia:

library(mvtnorm)
muestra <- rmvnorm(10000, rep(0, 10),
    diag(rep(1, 10)))
distancias <- apply(muestra, 1,
    function(x) sqrt(sum(x^2)))
hist(distancias, breaks = 100,
     main = "distribución de la distancia al centro")

El otro día alguien argumentaba (de una manera que no voy a adjetivar):

• La lógica (proposiciona, de primer orden) es importante (si lo que se pretende es actuar racionalment), la probabilidad no tanto.
• El teorema de Bayes es solo un resultado trivial dentro de una disciplina mucho menos relevante que la lógica.
• Ergo, ¿por qué tanto coñacito con el dichoso teorema de Bayes?

Como había alguien equivocado en internet, sonaron todas las alarmas que tengo colocadas en casa y tuve que acudir a enderezar el tuerto. Así, respondí algo así como que:

Me he entretenido estos días en crear un modelo que represente la siguiente hipótesis de trabajo:

Los encuestadores electorales combinan tres fuentes de información: sus propios datos, el consenso de los restantes encuestadores y la voz de su amo, es decir, el interés de quien paga la encuesta.

Es un modelo en el que se introduce (y se mide) el sesgo que introduce cada casa en los resultados. De momento (¡no fiarse!, léase lo que viene después) he obtenido cosas como estas (para el PP):