Frecuencias Naturales

El otro día se propuso un problema de probabilidad sencillo en su planteamiento aunque de solución no trivial (véase el planteamiento y una solución) que tenía como intención original poner a prueba las intuiciones de las probabilidades de eventos.

El problema se enuncia así:

Una pequeñísima proporción de recién nacidos tienen cierto rasgo (genético). Se realizan dos pruebas, A y B, para detectarlo. Sin embargo, las pruebas no son muy precisas:

• El 70% de los recién nacidos con test A positivo tienen el rasgo (y el 30% no).
• El 20% de los recién nacidos con test B positivo tienen el rasgo (y el 80% no). También se sabe que las pruebas son independientes en el siguiente sentido:
• Si un recién nacido tiene el rasgo, el resultado de la prueba A es independiente del de la prueba B.
• Si un recién nacido no tiene el rasgo, el resultado de la prueba A es independiente del de la prueba B. Ahora, un recién nacido es positivo en ambas pruebas. ¿Puedes estimar la probabilidad de que tenga el rasgo?

Una solución algebraica (con el teorema de Bayes de por medio) puede consultarse en uno de los enlaces proporcionados más arriba. Como anunciaba, sin ser extraordinariamente compleja, no es trivial. También será útil pensar, más que en términos de probabilidades, de odds.

No sé si alguien conoce la historia de Sally Clark. Fue condenada por el asesinato de sus dos hijos. Ambos padecieron, según ella, el síndrome de la muerte súbita del lactante. La probabilidad, sin embargo, de que sus dos hijos lo padecieran (supuesto que son eventos independientes, i.e., que no hay, por ejemplo, factores genéticos comunes) era muy baja: una de 73 millones. Por eso la enchironaron.

Pero, ¿qué es 1 / 73e6? Eso es $latex P(D|I)$, es decir, la probabilidad del suceso (los datos) condicionada a la inocencia de Sally. Sin embargo, la probabilidad que tiene que tener encuenta un juez no es esa sino $latex P(I|D)$, es decir, la probabilidad de ser inocente a la vista de los datos.

Las frecuencias naturales se utilizan como alternativa a los porcentajes para expresar probabilidades en lugar de, por ejemplo, porcentajes.

El gráfico anterior está extraído de este documento en el que sus autores argumentan que transmite más eficazmente la idea de probabilidad que los porcentajes desnudos tan habituales.

Entienden que es preferible decir que de cada 100 litros de cerveza vendidos en España, 20 se distribuyen en botella, 30 en lata y 30 en barril (¡ya sé que no suman 100!) que reescribir la información anterior en forma de porcentajes. Eso, sí, respetando una misma cantidad de partida y porsupuestísimo, no escribiendo, como aquí, que