Student

Si a uno le dicen que la diferencia de medias de determinado atributo entre sujetos de tipo A y sujetos de tipo B es 5, uno tiende a pensar (o, más bien, tengo esa sensación) que la diferencia de dicho atributo entre un representante al azar de A y uno al azar de B será alrededor de 5. Igual porque nos han educado mostrándonos imágenes no muy distintas de

El habitual problema de la diferencia de medias suele formularse de la siguiente manera: hay observaciones $latex y_{1i}$ e $latex y_{2i}$ donde

$$ y_{ji} \sim N(\mu_j, \sigma)$$

e interesa saber si $latex \mu_1 = \mu_2$. Obviamente, se desconoce $latex \sigma$. De cómo resolvió Gosset el problema están los libros de estadística llenos. En R,

set.seed(1234)
N1 <- 50
N2 <- 50
mu1 <- 1
mu2 <- -0.5
sig1 <- 1
sig2 <- 1
 
y1 <- rnorm(N1, mu1, sig1)
y2 <- rnorm(N2, mu2, sig2)
 
t.test(y1, y2)
# Welch Two Sample t-test
#
# data:  y1 and y2
# t = 4.7059, df = 95.633, p-value = 8.522e-06
# alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
# 95 percent confidence interval:
#   0.5246427 1.2901923
# sample estimates:
#   mean of x  mean of y
# 0.5469470 -0.3604705

En rstan,

Me gustaría no tener que hacer más t-tests en la vida, pero no va a ser el caso.

El problema al que me refiero le surgió a alguien en una galaxia lejana y, de alguna manera, me salpicó y me involucró. Es, simplificándolo mucho, el siguiente.

Tiene una muestra $latex X = x_1, \dots, x_n$ y quiere ver si la media es o no cero. ¿Solución de libro? El t-test. Pero le salen cosas raras e inesperadas. De ahí lo del salpicón.

El ejercicio que planteé hace unos días está extraido (casi literalmente) de aquí. Veamos cómo razona su autor en cada caso:

• Caso 1: Existe una diferencia estadísticamente significativa entre los tratamientos. Pero carece de importancia práctica porque es improbable que supere los 3 mg/dl.
• Caso 2: La diferencia es estadísticamente significativa y tiene importancia práctica a pesar de que el intervalo de confianza tiene una anchura de 20 mg/dl. Y es que un intervalo de confianza ancho no es necesariamente algo negativo: en este caso, por ejemplo, todos los puntos del rango tienen una misma interpretación. El nuevo tratamiento funciona, aunque sea imposible acotar con mucha precisión el rango de mejora.
• Caso 3: La diferencia es estadísticamente significativa pero puede o no tener importancia práctica. El intervalo de confianza es demasiado ancho: puede ser de tan solo 2 mg/dl; pero también de 58 mg/dl. En este caso sería recomendable continuar investigando el tratamiento.
• El caso 4 es fácil: no existe una diferencia significativa y, de haberla, es casi seguro que no tendría relevancia práctica.
• Casos 5 y 6: La diferencia no es estadísticamente significativa. Sin embargo, esta diferencia no está lo suficientemente bien acotada como para descartar la posibilidad que puedan existir efectos de importancia práctica. De todos modos, en el caso 5 sería más razonable desestimar dicha posibilidad que en el 6, que es parecido al caso 3.

He estado buscando estos días material relacionado con algo que se ha dado en llamar estadística moderna, que enfatiza el cálculo (asistido por ordenador) y la simulación a la hora de afrontar problemas estadísticos. La estadística clásica, por el contrario, tiende a hacer uso de hipótesis acerca de la distribución de los datos y a utilizar mecanismos más analíticos. La estadística moderna es moderna porque los ordenadores que la hicieron posible llegaron antes que la teoría subyacente a la teoría clásica.