Más sobre la ley de Benford (III): la "mágica" propiedad de los logaritmos decimales
Esta entrada tiene como prerrequisito las dos que la preceden: esta y esta.
Si $latex x_1, \dots, x_n$ es una muestra de una distribución de probabilidad $latex X$ regular y extendida, entonces $latex \log_{10}x_1, \dots, \log_{10}x_n$ es una muestra de $latex \log_{10}X$, que es otra distribución de probabilidad
- regular (porque el logaritmo es una función creciente) y
- extendida (aunque hay que convenir que menos: el logaritmo achica los números grandes).
Por lo tanto, cabe esperar que también la parte decimal de $latex \log_{10}x_1, \dots, \log_{10}x_n$ tenga una distribución uniforme sobre el intervalo [0,1). Luego cumple la Ley de Benford (véase la condición suficiente). Esto se debe a esa (¿contraintuitiva?) propiedad del logaritmo decimal: convertir el dígito más significativo de un número, el primero, en la parte menos significativa de su logaritmo, la que sigue a la coma.
Tres notas de rigor:
- En lugar de $latex \log_{10}$ podrían usarse otras funciones (el cuadrado, la raíz cuadrada, etc.) que también transforman distribuciones regulares y extendidas en otras que lo son igualmente. Pero se perdería la magia de la relación entre la parte fraccionaria con el primer dígito.
- La parte fraccionaria de una distribución regular y extendida es aproximadamente uniforme. La uniformidad solo se garantiza en el límite (conforme la distribución se hace más y más extendida sobre la recta real). Es posible (cuestión que exploré aquí) que los primeros dígitos de muestras de determinadas distribuciones no sigan la Ley de Benford.
- Queda ver cuáles son las razones (¿sicológicas?) que llevarían a los humanos a inventar secuencias de números que no obedecen una ley extendida y regular. En particular, que violan la regularidad.
En la última entrada de la serie abundaré esa tercera nota y hablaré de posibles extensiones que no son sino ocurrencias mías.
