La media, medidas de centralidad y distancias
El problema de hoy viene sugerido por la manera de encontrar un valor central –una medida de centralidad– en una serie de números $latex x_1,\dots, x_n$. A uno se le viene a la mente la media de dichos puntos, por supuesto. Pero la media no es sino el valor $latex \theta$ que minimiza
$$ \sum_i (x_i - \theta)^2.$$
En lugar de minimizar la distancia al cuadrado entre ese punto central y los de la serie, podríamos usar otras funciones. Es sabido que si tratamos de minimizar
$$ \sum_i |x_i - \theta|$$
el valor resultante es la mediana, otra medida de centralidad común. Y pueden usarse otras.
El problema que planteo hoy (y del que no sé si tengo clara la solución) es el siguiente: ¿se pueden caracterizar las distancias que resultan en la media como medida de centralidad? Por ejemplo, además de $latex f(x)=x^2$, también están $latex f(x)=c x^2$, donde $latex c>0$. Pero, ¿habrá más?
