La (mejor) caracterización de la binomial negativa (en términos de la Poisson y la gamma)
Estamos acostumbrados a la caracterización habitual de la distribución binomial negativa como el aburrido número de fracasos en una serie de ensayos de Bernoulli hasta lograr $r$ éxitos. Esto, junto con un poco de matemáticas de primero de BUP —todo aquello de combinaciones, etc.— lleva a la expresión conocida de su función de probabilidad,
$$\binom{n + x - 1}{x} p^r (1 - p)^x.$$
Pero esta caracterización, muy útil para resolver problemas de probabilidad construidos artificialmente para demostrar que los alumnos han estudiado la lección con aprovechamiento, se queda muy corta a la hora de proporcionar intuiciones sobre cómo, cuándo y por qué utilizarla en el ámbito en el que es más útil: el análisis de los procesos puntuales.
En ellos manda Poisson. El motivo está desarrollado (¿mejorablemente?) en mi (inacabado) libro de estadística, por lo que no me explayaré más aquí al respecto y me limitaré a rescatar de él el parrafito que dice:
En general, si $n$ es grande y $p$ relativamente pequeña, se puede demostrar que las variables aleatorias binomiales de parámetros $\alpha n$ y $p/\alpha$ [para distintos valores de $\alpha$] son aproximadamente iguales y que, en el fondo, la distribución solo depende de la media, $np$. Esa distribución común es conocida como distribución de Poisson, que admite como parámetro el valor $np$, que se suele denominar intensidad y denotar por $\lambda$. El nombre hace referencia al número de eventos que cabe esperar, a lo intenso del fenómeno aleatorio que modela.
Para conectar la binomial negativa con la Poisson, considérese el siguiente experimento mental: en un hospital son admitidos en urgencias $N$ pacientes cada día donde $N \sim \text{Pois}(30)$. Si se toman los ingresos a lo largo de un año y se representan gráficamente, se obtendrá un histograma muy similar al de la Poisson.
Pero puede que no. Puede que ese parámetro $\lambda = 30$ se haya calculado globalmente (una media de 30 pacientes por día) pero que cada día del año, por sus características azarosas, tenga asociado un valor $\lambda_i$ distinto. La distribución observada ya no será la de una Poisson sino la de una mezcla de distribuciones de acuerdo con el siguiente esquema:
- Para cada día $i$ se selecciona un valor $\lambda_i$ de cierta distribución desconocida de media 30.
- Se obtiene una muestra de la distribución de Poisson de parámetro $\lambda_i$.
La distribución resultante no es necesariamente Poisson. De hecho, solo lo es —estrictamente— si todos los $\lambda_i$ son iguales (para una demostración, estúdiese la varianza de una mezcla de distribuciones y aplíquese a este caso concreto).
Pero se da la circunstancia de que si esa distribución desconocida es gamma, entonces la distribución obtenida es binomial negativa (la demostración, aquí).
En definitiva, la distribución binomial positiva es una mezcla de distribuciones de Poisson cuando su parámetro sigue una distribución gamma. O en lo que se convierte la distribución de Poisson cuando hay incertidumbre —y esa incertidumbre tiene una forma concreta— acerca de su parámetro. Lo cual tiene, obviamente, una interpretación bayesiana: la distribución binomial negativa es la posteriori asociada a la Poisson con una priori gamma.
Un buen motivo, pues, para usar la binomial negativa en modelos de conteos y trascender así las limitaciones de la distribución de Poisson.
