El principio de mediocridad como instrumento para estimar duraciones

Esta entrada trata de explicar cómo utilizar el llamado principio de mediocridad para la estimación de la duración de cosas cuando apenas se sabe nada al respecto. En ese sentido, extiende y fundamente lo que puede leerse aquí.

Planteamiento

Consideremos el conjunto $A$ de todos los pares de números (reales, que todo hay que decirlo) $0 < a < b$.

En todo lo que sigue, $b$ se interpretará como la duración total de algo (la existencia de la especie humana, el número de semanas que una obra teatral estará en cartel, etc.) y $a$ el momento en el que un observador ha contemplado la existencia de ese algo.

El conjunto $A$ se puede dividir en dos partes:

• $M$, de mediocre, que contiene todos los pares $(a, b)$ de $A$ tales que $0 < \alpha b < b < (1-\alpha) b < b$ para cierto valor $0 < \alpha< 1$ (p.e., $\alpha = .025$). Se trata de los pares donde $a$ está lejos de los extremos.
• $E$, de excepcional, es el complementario de $M$.

Podría decirse que $P(M) = 1- 2\alpha$. Es decir, que is $\alpha = .025$, entonces $P(M) = .95$. (Quien esté incómodo por el hecho de que se estén usando probabilidades impropias, puede considerar que los valores $b$ de $M$ son menores que un número finito pero plusquamsobrehumano.)

Aplicación

Supongamos que observo que algo ha comenzado hace 1 periodo temporal y que mi observación de ese hecho es casual y no particular. Puedo suponer entonces que $(1, b)$, donde $b$ es la duración (desconocida) de ese algo está en $M$. Al menos, con una probabilidad del 95% (suponiendo que $\alpha = .025$).

Eso condiciona los posibles valores de $b$. El menor valor de $b$ para el que $(1, b) \in M$ es $1 / (1 - \alpha)$ y el mayor, $1/\alpha$. Es decir, con un 95% de probabilidad, la duración del evento estará entre $1.025$ y $40$.

De hecho, en la Wikipedia (véase el enlace de más arriba) toman $\alpha = .25$ para decir que algo que ha durado $T$ tiene un 50% de probabilidades de durar entre $T/3$ y $3T$ más. Lo cual, además, recuerda mucho a la regla del tres de la que ya se habló aquí hace seis años.

Comentario

Obviamente, las estimaciones son demasiado anchas como para permitir aplicaciones prácticas de la cosa. Además, en el mundo de las cosas prácticas, suele haber mucha más información disponible sobre la función de supervivencia de las cosas. Pero esta aplicación del principio de mediocridad es un pelín más informativa que el simple encogimiento de hombros.