Probabilidad

Si se elige un punto uniforme sobre la esfera unidad, cada coordenada x, y, z es uniforme en $[-1, 1]$. El resultado era ya conocido por Arquímedes y está relacionado con la preservación de áreas en la proyección cilíndrica. Además, los puntos tienen correlación nula pero no son independientes. Elige un punto uniformemente al azar en un cuadrado y únelo con la esquina inferior izquierda del cuadrado. Elige un segundo punto uniformemente al azar en el cuadrado y únelo con la esquina superior izquierda del cuadrado. ¿Cuál es la probabilidad de que estos dos segmentos se corten?. ...

Los libros nos enseñan que un espacio de probabilidad es una terna $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ donde $\Omega$ es el conjunto de posibles eventos, $\mathcal{F}$ es una sigma-álgebra sobre $\Omega$ y $\mathbb{P}$ es una función de probabilidad —un tipo muy especial de medida— sobre $\Omega$. En lo que sigue sobreentenderemos $\mathcal{F}$ y consideraremos el par $(\Omega, \mathbb{P})$. Si el par $(\Omega, \mathbb{P})$ es conocido, estamos hablando de teoría de la probabilidad. $\Omega$ pueden ser los números del 1 al 6, $\mathbb{P}(i) = 1/6$, etc. Entonces se pueden plantear y resolver con más o menos dificultad el tipo de problemas de índole deductivo que aparecen al final de los capítulos de los libros en la materia. ...

Una entrada de 2022 en el blog Astral Codex Ten titulada Your Book Review: The Future Of Fusion Energy hace lo que su título indica y termina con una discusión sobre la probabilidad de éxito de esta tecnología en los próximos años. Debajo del gráfico dice (con mi traducción y énfasis): Espero que llame la atención que existan muchos caminos distintos y plausibles hacia la fusión. Desde el punto de vista físico, contamos con tokamaks, stellarators, tokamaks esféricos y confinamiento inercial. Desde el punto de vista de la ingeniería, hay distintos superconductores para las bobinas, diferentes técnicas de fabricación y mucho más. Desde el punto de vista institucional, tenemos empresas públicas y privadas en siete países distintos. ...

Andrew Gelman escribió recientemente These are the three ways of attacking a statistical problem (illustrated with the NFL example) en el que se enfrenta a un problema estadístico usando tres técnicas distintas. El problema consiste en determinar cuál es el patrón de resultados más frecuente en series de cuatro enfrentamientos entre equipos de fútbol americano: todas las combinaciones $(x_1, x_2, x_3, x_4)$, donde $x_i \in {0, 1}$, desde $(1, 1, 1, 1)$ (el primer equipo gana todos los enfrentamientos) hasta $(0, 0, 0, 0)$ (el primer equipo pierde todos los enfrentamientos). ...

Topé el otro día con el artículo Cyrena Arnold, meteoróloga: “La gente no sabe realmente qué significa probabilidad de precipitación”, que me interesó por varios motivos: Una parte sustancial de la teoría sobre calibración de modelos predictivos ha sido desarrollada por meteorólogos. Porque es un asunto que ya he tratado antes. Porque XKCD también: Porque en el blog de Andrew Gelman también se han ocupado del asunto y en él se puede leer: La probabilidad de precipitación es $C \times A$ donde $C$ es la probabilidad de precipitación en algún lugar de la zona de predicción y $A$ es la proporción del área que recibirá alguna cantidad medible de precipitación, de haberla. Así que el método correcto de interpretar la predicción es: hay un X% de probabilidad de que llueva en algún punto de la zona. ...

Monty Hall and generative modeling: Drawing the tree is the most important step: Un artículo que invita a pensar los problemas de probabilidad en términos generativos, en cómo se obtienen los resultados, ilustrándolo con el ejemplo clásico del problema de Monty Hall: en lugar de buscar directamente una respuesta, es conveniente dibujar el árbol de probabilidad para aclarar las suposiciones sobre cómo se generan los datos (o decisiones). Why probability probably doesn’t exist (but it is useful to act like it does): Abunda sobre la vieja y manida cuestión sobre si la probabilidad existe objetivamente. Pero esquiva el meollo de la cuestión y se queda en que, como concepto, es extremadamente útil como herramienta para comprender y estudiar el mundo. Incluso si dudamos de la existencia real de la probabilidad, argumenta que es conveniente actuar como si existiera. Yes, your single vote really can make a difference! (in Canada): Se refiere a un caso real ocurrido en Canadá en el que un distrito electoral fue decidido por un solo voto. Es la anécdota que algunos querrán esgrimir contra la categoría de la irracionalidad del voto individual. En Distribution of correlation y en Is the skewness of the distribution of the empirical correlation coefficient asymptotically proportional to the correlation? se analiza un mismo problema, el de la distribución del coeficiente de correlación. Si se toman muestras con una correlación real predefinida y fija $\rho$, se obtiene una distribución asimétrica (necesariamente), cuya asimetría crece con la correlación $\rho$. Cuando las distribuciones son normales, existe solución analítica, pero incluso en ese caso parece más razonable simular. Matt Levine cuenta una historia muy instructiva sobre lanzamientos de monedas en el mundo real: Entrevistaban a alguien para un trabajo en un hedge fund y le hicieron estudiar las matemáticas (esperanza, desviación estándar) de 1000 lanzamientos de monedas. Una vez hechos los cálculos, le preguntaron si aceptaría participar en un juego en el que ganaría $0.5 + \epsilon$ de tirar una moneda y que saliese cara. El tipo dijo que sí. El entrevistador le contestó: “no, respuesta incorrecta; si te lo ofrecemos, no deberías aceptarlo: tenemos un tipo ahí abajo que saca un 55% de caras”.

La lógica doxástica de la que nos habla Gelman aquí se refiere a un tipo de lógica que opera sobre creencias que no tienen asociados valores «verdadero» o «falso» sino, más bien, otros del tipo «el sujeto cree que X es cierto». Se pregunta Gelman si existirá alguna versión probabilística o bayesiana de la cosa y me pregunto por qué no ha caído en toda la obra de Jaynes —por poner solo un ejemplo—, que trata precisamente sobre eso. ...

He escrito ya alguna vez sobre esa especie de que la incertidumbre y el azar no existen en el mundo. Que esos conceptos —junto con la teoría de la probabilidad que los sistematiza— son solo una construcción de la mente y existen solamente en ella. Que si no fuésemos tan perezosos, podríamos recopilar todas las causas y deducir con precisión milimétrica el futuro (como hacen Diaconis y compañía en el artículo que traté aquí con los lanzamientos de monedas), y advertiríamos que en el mundo real solo hay certidumbres. Etc. ...

Comienzo la entrada de hoy con un enlace al muy denso Interpretations of probability, en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford que, admito, no será del interés de la mayoría. Podría llegar a decirse —aunque no me atreveré a tanto— que en toda disciplina intelectual tiene que haber paradojas porque de otra manera, sería indistinguible del uso sistemático del sentido común. Así que hoy traigo a colación este análisis de un caso particular de la paradoja de Berkson (que se añade a las ocasiones en las que ya me he referido a ella) y este otro sobre la de Lindley. La primera tiene que ver con la correlación que aparece entre dos variables aleatorias independientes cuando de repente observamos información concomitante; la segunda, con los test de hipótesis (asunto del que, por fortuna, me he mantenido alejado durante largo tiempo). ...

En A Conversation with Sir David Cox se lee: Reid: Me gustaría preguntarle sobre su trabajo al principio de su carrera en la Wool Industries Research Association. ¿Qué tipo de lugar era y qué tipo de puesto tenía usted allí? Cox: Bueno, Henry Daniels lo ha descrito un poco en una entrevista reciente (Whittle, 1993). Era un tipo de organización muy común en el Reino Unido en ese momento, financiada por el gobierno y por dinero obtenido de un impuesto al sector, para realizar investigaciones básicas sobre problemas relacionados con la industria; y en ese momento tenía un director extraordinario que simplemente tenía la idea de contratar a personas y, en gran medida, dejarlas trabajar por su cuenta, con su apoyo. […] ...