Bayesianismo y frecuentismo bajo la óptica de la teoría de la decisión, I
[Esta es la primera de una serie de tres o cuatro entradas sobre el tema que se anuncia en el título.]
$\theta$ es un valor desconocido. Por algún motivo, necesitamos encontrar un valor $\hat{\theta}$ —que podríamos llamar de cualquier manera, pero que, por lo que sigue, será podemos convenir en denominar estimación de $\theta$— tal que minimicemos una determinada función de error
$$L(\theta, \hat{\theta}).$$
Por fijar ideas, un ejemplo: alguien nos puede haber dicho que ha pensado un número (entero) entre el 1 y el 10, $\theta$ y que nos dará un premio si lo acertamos, es decir, si proporcionamos un $\hat{\theta}$ y resulta que $\theta = \hat{\theta}$. Una función de error aplicable sería:
- $L(a, a) = 0$
- $L(a, b) = 1$ si $a \ne b$.
O podría darnos un premio proporcional a la cercanía entre $\theta$ y $\hat{\theta}$, en cuyo caso podría definirse $L(a, b)= |a - b|$.
Etc.
La pregunta entonces es: ¿cómo elegir $\hat{\theta}$? Hay varias aproximaciones al problema: minimizar la pérdida máxima, maximizar la pérdida mínima, etc. Pero en esta entrada y las que siguen se va a optar por una mucho más polémica de lo que podría parecer en un principio: minimizar la pérdida media. Es decir, se va a suponer que $\theta$ tiene una determinada distribución de probabilidad y que $\hat{\theta}$ se va a elegir como el mínimo de
$$L(\hat{\theta}) = E_\theta[L(\theta, \hat{\theta})] = \int_\theta L(\theta, \hat{\theta}) p(\theta) d\theta.$$
El planteamiento, en principio inocente anterior, es polémico porque, como se verá y por si alguien no la ha reconocido ya, $p(\theta)$ acabará indentificándose como la priori de $\theta$ y habrá quien entre en distingos acerca de si es o no subjetiva, etc. Lo de siempre. Pero en esta serie de entradas dejaremos esa polémica aparcada a un lado, reconociendo que para los agentes que han de tomar la decisión (p.e., nuestro jugador), es dato positivo.
[Ni que decir tiene que, así planteadas las cosas, con la función de pérdida $L(a, b)= |a - b|$, el jugador haría bien en apostar en la mediana de los valores $1, 2, \dots, 10$.]
Y esta entrada termina señalando que, de momento, no se ha hablado para nada de estadística propiamente dicha. Se hará en la siguiente, cuando entren en juego los datos.
