Todos sabemos qué es el crecimiento lineal y el exponencial. Todos sabemos que las funciones lineales y exponenciales tienen un aspecto muy distinto. Sería ocioso —¿insultante incluso?— sustentar gráficamente esas afirmaciones.

Por eso me llamó grandemente la atención el reciente artículo de Thomas Philippon, Additive Growth, que comienza, con mi traducción, así:

De acuerdo con el libro de texto de Solow de 1956, los modelos de crecimiento económico dan por hecho que la PTF [productividad total de los factores] crece exponencialmente: $dA_t = gA_tdt$, donde $A$ es la PTF y $g$ es o bien constante o prácticamente constante. Yo [T. Philippon] he examinado datos de muchos países y periodos y he encontrado que, en casi todos los casos, el crecimiento de la productividad es de hecho lineal: $dA_t = bdt$ donde $b$ es una constante, al menos durante largos periodos históricos.

Esta es una entrada que dedico a un sector de la sociedad que, generalmente, tengo muy desantendido: gente con mucho tiempo libre pero con infinitas ganas de librar al mundo de esos pésimos males que ni siquiera era consciente que tenía.

Resulta que en The elimination of Spurious Correlation due to position in Time or Space de “Student” (en realidad, Gosset, que es el que inventó el test que no lleva su nombre), principia así:

I. Tidyverse (como ejemplo a no seguir)

Uno de los grandes problemas del tidyverse en R es que para él, todo son tablas. Existe solo una manera de agrupar información: las tablas. Fuera de ese estrecho marco, existen otras estructuras de datos: árboles, listas, diccionarios, tablas hash, vectores, tuplas, listas linkadas, listas doblemente linkadas, etc. Todo aquello, en definitiva, que en otros lenguajes de programación se explica en el capítulo “Colecciones” del manual.

Sería muy difícil haber aprendido algo de probabilidad sin haber oído o leído a alguien quejarse de que el término “variable aleatoria” es desafortunado; que, en puridad, una “variable aleatoria” es una función; pero que todo el mundo lo hace y que no queda otra que cargar —¡una vez más!— con el peso del consenso y la tradición.

Pero cabe preguntarse: ¿hasta dónde y cuándo se remonta? El término tiene evocaciones viejunas y uno está tentado de buscar sus orígenes en, no sé, algún Bernoulli —¿Jacobo?—, Laplace o el mismo Pascal. Pero estos autores todavía no habían alcanzado el nivel de abstracción al que estamos acostumbrados hoy: donde nosotros usaríamos “variable aleatoria” ellos hablan de eventos, bolas, tiradas de monedas, ganancias de un jugador u otras concreciones.

Es innegable que el rótulo ley del estadístico inconsciente llama la atención. Trata sobre lo siguiente: si la variable aleatoria es $X$ y la medida es $P_X$, entonces, su esperanza se define como

$$E[X] = \int x dP_X(x).$$

Supongamos ahora que $Y = f(X)$ es otra variable aleatoria. Entonces

$$E[Y] = \int y dP_Y(y)$$

para cierta medida (de probabilidad) $P_Y$. Pero es natural, fuerza de la costumbre, dar por hecho que

Me he escrito a mí mismo lo siguiente:

#########################################################
# @gilbellosta, 2022-11-14
# Implementing RSA "by hand"
#########################################################

# message
msg = 3

# the two "large" primes
p1 = 7
p2 = 13

# public key
# I choose a number, 5, as part of the public key;
# the other part is p1 * p2
pub = (5, p1 * p2)
a, n = pub

# calculation of the private key
# it must be a number b such that
# x**(a * b) % n == x % n
# for all x
# for that, (this comes from Euler's totient theorem)
# we need that a*b % totient = 1
totient = (p1 - 1) * (p2 - 1)

tmp = [x for x in range(totient) if a * x % totient == 1]
b = tmp[0]

priv = (b, n)

# testing:
encrypted_msg = msg**a % n

encrypted_msg**b % n

Lo quiero acompañar, para futura referencia, de unos enlaces donde se explican de manera concisa y sin perífrasis innecesarias los puntos más críticos de todo lo anterior:

Tiene Google (o una parte de él) un vídeo en Youtube,

sobre el que me resulta imposible no comentar nada. Trata, esencialmente, de cómo operacionalizar a la hora de poner en marcha modelos esos principios de justicia, igualdad de oportunidades, etc. de los que tanto se habla últimamente.

2022 es un mal año para recordar un asunto sobre el que tenía anotado hablar desde los inicios del blog, allá por 2010: la llamada African dummy. Mentiría, sin embargo, si dijese que no es oportuno: está relacionado con temas que hoy se consideran importantes, aunque tratado al estilo de los noventa. Es decir, de una manera inaceptablemente —para el paladar de hogaño— distinta.

La cosa es más o menos así: en el 91, a R. Barro, macroeconomista de pro, se le ocurrió publicar Growth in a cross section of countries. En el usó métodos de regresión clásica —recuérdese: macroeconomista en los 90— para estudiar qué variables explicaban el desigual crecimiento económico de los países. Se cuenta que el hombre torturó y torturó los datos para que aquello ajustase sin éxito… hasta que introdujo una singular y, por un tiempo, famosa variable: la African dummy , i.e., estar o no estar en África.

En esta entrada propongo y no resuelvo un problema que puede considerarse o estadístico o, más ampliamente, de ajuste de funciones —sujeto a innumerables ruidos—: determinar qué hora debería ser.

Eso de la hora —y me refiero a los horarios de invierno, verano, etc. y más en general, la desviación de la hora nominal con respecto a la solar— se parece un poco a la economía. En economía tienes cantidades nominales y reales. Pareciere que las nominales son irrelevantes: tanto da llamar a una moneda 1 euro o 166.386 pesetas. Las cifras que asociamos a los objetos son, en principio, arbitrarias. Pero es bien sabido que existe una sutil interrelación entre cantidades nominales y reales sobre la que se ha escrito mucho pero yo sé poco.

Estaba repasando cosas sobre reducción de la dimensionalidad y, en concreto, UMAP y tSNE. Me ha parecido conveniente replantear las cosas sobre primeros principios para que todo se entienda mejor.

El problema es el siguiente:

• Tenemos $K$ puntos $x_i$ en un espacio de dimensión $N$.
• Buscamos su correspondencia con otros $K$ puntos $y_i$ en un espacio de dimensión $n « N$.
• De manera que las configuraciones de los $x_i$ y los $y_i$ sean similares en el sentido de que la matriz de distancias $(d(x_i,x_j))$ sea parecida a la $(d(y_i, y_j))$. Eso quiere decir que parejas de puntos próximos en el primer espacio deberían mapearse en parejas de puntos próximos en el segundo; parejas de puntos alejados en parejas de puntos alejados, etc.

En concreto, se buscaría minimizar algo así como, en primera aproximación,

A veces toca comparar dos variables aleatorias: ¿cuál de dos juegos preferirías? Hay muchas maneras de resolver ese problema, de una larga historia, con mejor o peor fortuna. En el fondo, hay que crear un orden en el conjunto de las variables aleatorias y, en el fondo —y perdónenme mis excolegas matemáticos—, proyectarlas de alguna manera sobre los números reales.

Si este número real se elige de alguna manera razonable (p.e., fijando las variables aleatorias constantes), bien puede recibir el nombre de equivalente cierto. Que es el nombre que recibe en algunas disciplinas, pero que me parece particularmente afortunado.

El IPC es el valor de una canasta arbitraria de bienes de consumo a la que en un momento arbitrario de la historia se le dio un precio arbitrario de 100.

Aun cuando gráficamente la curva anterior no da lugar a dudas —y menos si en lugar de una imagen estática hubiese creado otra interactiva—, la gente se empeña en describir su evolución verbalmente usando terminologías confusas que se refieren a distintas relaciones de más o menos interés y utilidad. De hecho, aquí discuto:

La entrada de hoy es un ejercicio intrascendente inspirado en cálculos similares, pero aplicados al RU, en el octavo capítulo del muy recomendable librito Sustainable Energy — without the hot air. En él se calcula cuál podría llegar a ser la potencia hidroeléctrica instalada máxima en RU bajo la hipótesis de que se aprovecha la totalidad de la energía potencial de cada gota de agua llovida en aquella desventurada tierra.

El número gordo correspondiente a España es ese con el que rotulo la entrada: 2.551879e+18 julios anuales. Que, como todo el mundo sabe, corresponde a la energía necesaria para iluminar un campo de fútbol en lo que cuesta pasar por agua todos los huevos puestos por gallina desde los tiempos de Nabucodonosor II.