Física

Como saben los viejos del sitio, instalé un dispositivo en el cuadro que mide mi consumo eléctrico en tiempo real. Lo que hace el dispositivo es muy simple. Por un lado, mide las funciones $i(t)$ y $v(t)$ (intensidad y voltaje); por el otro lado, calcula las integrales

$$\int_0^T i(t) v(t) dt,$$

$$\int_0^T i^2(t) dt$$

y

$$\int_0^T v^2(t) dt.$$

Con un $T$ pequeño (unos segundos), muestra en una app los valores

$$\frac{1}{T}\int_0^T i(t) v(t) dt,$$

¿Cómo llegamos a la distribución normal? Típicamente, por aplicación —implícita, explícita, rutinaria o litúrgica— del teorema central del límite: una variable aleatoria es normal porque la creemos consecuencia de pequeñas perturbaciones independientes.

Pero hay otra vía.

Supongamos que tenemos tres —o, para el caso, $n > 1$— variables aleatorias continuas independientes con la misma distribución. Su densidad, por tanto, puede factorizarse así:

$$f(x_1, x_2, x_3) = f(x_1) f(x_2) f(x_3).$$

Supongamos además que $f(x_1, x_2, x_3)$ depende solo de $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$, la distancia al origen. De otro modo, que

En esta entrada es continuación y discusión de la primera de la serie. En esta se va a discutir su relevancia en la discusión sobre lo que es la causalidad más allá de las técnicas que puedan existir para identificar y medir el tamaño de los efectos una vez que la causalidad está postulada.

Comenzaré haciendo notar una obviedad: el concepto de causalidad es ajeno a las matemáticas. Los hechos matemáticos no tienen causas sino razones o explicaciones. Que los catetos de un triángulo rectángulo midan 3 y 4 no es la causa de que su hipotenusa mida 5, sino su razón.

En esta entrada voy a plantear y explicar el resultado de un experimento físico. Dejo para la siguiente la discusión de su relevancia para la discusión de la causalidad ya no tanto desde el punto de cuantificarla una vez postulada sino de su misma naturaleza.

El experimento —que aunque es físico, habrá de ser mental— es el siguiente: se toma un haz de palillos y se lanza hacia arriba de manera que los palillos roten en cualquier dirección, al azar. (Se supone, además, que no existe influencia notoria del rozamiento del aire, corrientes o alguna mano maliciosa que haya activado algún campo electromagnético arteramente).

Una de las cosas más provechosas que hice durante el encierro consecuencia de la consabida pandemia fue repasar con detenimiento la lógica matemática. En particular, leyendo meticulosamente de tapa a tapa la Introduction to Mathematical Logic de Walicki.

Una de las cosas más provechosas de la lógica matemática es la diferencia entre formalismos (p.e., la lógica proposicional) y sus distintos modelos, que la representan mejor o peor:

A specification of a domain of objects, and of the rules for interpreting the symbols of a logical language in this domain such that all the theorems of the logical theory are true is said to be a “model” of the theory.

Según la teoría de la relatividad, las velocidades (lineales) se suman así:

v1 <- 100000
v2 <- 100000
velocidad_luz <- 300000

suma_relativista <- function(x,y){
  (x + y) / (1 + x * y / velocidad_luz^2)
}

suma_relativista(v1, v2)
# 180000

Lo que es todavía menos conocido es que esa operación es equivalente a la suma ordinaria de velocidades a través de una transformación de ida y vuelta vía la arcotangente hiperbólica (véase esto). En concreto:

f1 <- function(x) {
  atanh(x / velocidad_luz)
}

f2 <- function(x) {
  velocidad_luz * tanh(x)
}

f2(f1(v1) + f1(v2))
# 180000

Ahora imaginemos un universo donde la velocidad máxima no es la de la luz, sino que solo están permitidas las velocidades entre 0 y 1:

La interpretación puramente frecuentista de los intervalos de confianza es que el 95% de ellos contendrán el valor de interés en cuestión. Veamos qué nos cuenta al respecto la historia de la medición de la velocidad de la luz contemplada a través de la lectura de Determining the Speed of Light (1676-1983): An Internalist Study in the Sociology of Science primero en forma tabular (nota: en la fuente original hay una tabla más extensa de la que esta es resumen),

[Hoy voy a tratar ciertas reflexiones suscitadas por el artículo más relevante que he leído este verano.]

La física aristotélica tiene mala prensa. Sin embargo, Carlo Rovelli, en _Aristotle’s Physics: a Physicist’s Look _ofrece una visión alternativa y más optimista de la generalizada, que resume así:

I show that Aristotelian physics is a correct and non-intuitive approximation of Newtonian physics in the suitable domain (motion in fluids), in the same technical sense in which Newton theory is an approximation of Einstein’s theory. Aristotelian physics lasted long not because it became dogma, but because it is a very good empirically grounded theory. The observation suggests some general considerations on inter-theoretical relations.

Hoy ha fallecido Hawking. A raíz de lo cual, alguien muy bien leído, muy bueno en su campo y a quien sigo en Twitter, rogaba a sus seguidores que le indicasen alguna referencia donde poder averiguar y entender cuáles son esas aportaciones tan fundamentales que le debemos al finado.

Lo cual me hace pensar que si te tienen que explicar por qué algo es bueno, tal vez no sea tan bueno.

Hasta hace un par de días no me había tratado de formar una opinión adulta sobre las causas de las mareas. Supongo que durante la EGB leí en algún sitio que era cosa de la gravedad y la luna y ahí lo dejé estar.

Hasta que leí esto. Que da cuenta de la discusión de un político muy antipático (es del UKIP, ¡uh, uh, uh!) con un tal Paul Nightingale, de profesión científico, acerca de la materia. Según el primero, son producto (entiendo que fundamentalmente) del sol; según el segundo, de la luna.

El algoritmo de Metropolis-Hastings se usa para muestrear una variable aleatoria con función de densidad $latex p$. Permite crear una sucesión de puntos $latex x_i$ que se distribuye según $latex p$.

Funciona de al siguiente manera: a partir de un punto $latex x_i$ se buscan candidatos a $latex x_{i+1}$ de la forma $latex x_i + \epsilon$, donde $latex \epsilon$ es, muy habitualmente, $latex N(0, \delta)$ y $latex \delta$ es pequeño. De otra manera, puntos próximos a $latex x_i$. Un candidato se acepta (y se convierte en $latex x_{i+1}$) o se rechaza (y toca probar con otro) según los valores de $latex p(x_i)$ y $latex p(x_i + \epsilon)$:

Por culpa de una nevera que no enfriaba como era debido, veinte años después, estoy repasando mi termodinámica: entropía, ciclo de Carnot, etc.

Por culpa de Stan estoy repasando mi mecánica hamiltoniana.

Y lo estoy disfrutando muchísimo.

Dizque hay una exposición del Bosco en El Prado. Que si cuesta 16 euros. Que si solo puedes ver los cuadros de lejos porque hay toneladas de gente del extrarradio que hace su visita anual al centro. Pero, sobre todo, que es goce estético para los que no pueden apreciar otra cosa. Paso. Déjeseme hacer en paz lo que me gusta.

La versión larga, en inglés y capada para quienes tengáis bloquador de publicidad es esta. La versión abreviada para el hombre ocupado de hoy en día (y con mis comentarios) es:

• Un tipo con mucha vocación estudia física y acaba en el CERN
• Trabaja en lo de la partícula de Higgs y obtiene peor de los resultados posibles: la partícula existe tal cual predecía la teoría
• Lo de la particulita queda ahí porque, desafortunadamente, no hay nada más que rascar
• Se acaban las subvenciones, las becas, etc. y todos los físicos vocacionales tienen que buscarse la vida
• El protagonista de nuestra historia fabrica apps de telefonillo para carreras de caballos

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