Paradojas

Sobre la evolución relativa de las economías de Europa y los EEUU, dos visiones contrapuestas: Why Europe has stagnated, de Works In Progress. Europe v America: Who’s Really Winning?, de Paul Krugman. Matthew Yglesias recoge la siguiente paradoja: El gasto en educación nos presenta una especie de paradoja. Sabemos, a partir de estudios a pequeña escala, que los incrementos marginales en el gasto escolar producen resultados positivos para los niños. En particular, intervenciones bastante prosaicas, como mejorar los sistemas de climatización de los colegios, mejoran el rendimiento de los estudiantes, especialmente en centros con alumnado de bajo nivel socioeconómico. ...

Comienzo la entrada de hoy con un enlace al muy denso Interpretations of probability, en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford que, admito, no será del interés de la mayoría. Podría llegar a decirse —aunque no me atreveré a tanto— que en toda disciplina intelectual tiene que haber paradojas porque de otra manera, sería indistinguible del uso sistemático del sentido común. Así que hoy traigo a colación este análisis de un caso particular de la paradoja de Berkson (que se añade a las ocasiones en las que ya me he referido a ella) y este otro sobre la de Lindley. La primera tiene que ver con la correlación que aparece entre dos variables aleatorias independientes cuando de repente observamos información concomitante; la segunda, con los test de hipótesis (asunto del que, por fortuna, me he mantenido alejado durante largo tiempo). ...

Esta entrada trata sobre las aparentes contradicciones que surgen cuando se comparan las regresiones $y \sim x$ y $x \sim y$. En particular, aquí se muestran y que vienen a decir: El tal Rodgers rinde por encima de lo que se espera para su salario. Para lo que rinde, gana demasiado. Lo cual, a pesar de lo contradictorio, no es un fenómeno extrañísimo. Si uno hace n <- 100 x <- rnorm(n) a <- .3 b <- .5 y <- a * x + b + 0.1 * rnorm(100) reg1 <- lm(y ~ x) reg2 <- lm(x ~ y) which.1 <- y > predict(reg1, data.frame(x = x)) which.2 <- x > predict(reg2, data.frame(y = y)) tmp <- cbind(which.1, which.2) tmp <- which(tmp[,1] & tmp[,2]) ab <- coef(reg2) plot(x, y) abline(reg1, col = "blue") abline(b = 1/ ab[2], a = - ab[1] / ab[2], col = "green") points(x[tmp], y[tmp], col = "red", pch = 16) puede obtener tantos gráficos de la forma ...

Escribí sobre la paradoja de Lord en 2013 y luego otra vez, tangencialmente, en 2020. Hace poco releí el artículo de Pearl sobre el tema y comoquiera que su visión sobre el asunto es muy distinta de la mía, voy a tratar de desarrollarla. Aunque supongo que es generalizable, la llamada paradoja de Lord se formuló inicialmente al estudiar y comparar datos antes/después. En su descripción original de mediados de los 60, había niños y niñas a los que se había pesado en junio y en septiembre. El problema (y la paradoja) aparecían al tratar de modelar esa variación de peso según el sexo. ...

Un test A/B consiste en (o aspira a) estimar (y tal vez promediar) las diferencias predict(modelo_t, x) - predict(modelo_c, x) donde modelo_t y modelo_c son modelos construidos en grupos tratados y no tratados de cierta manera. Entra el tiempo. Ahora ya no se trata de medir esas diferencias sino las diferencias entre los incrementos antes y después. Que se hace construyendo cuatro modelos para con ellos obtener (predict(modelo_td, x) - predict(modelo_ta, x)) - ...

Va sobre lo de ayer. Hay una demostración de ese resultado contraintutivo aquí. Hay una referencia aquí. Existen discusiones sobre si este resultado se debe a Feller; si no lo es, bien pudiera haberlo sido; la verdad, es muy como de él. Pero una cosa es la demostración y otra muy distinta, descontraintuitivizar el resultado. Para ello, escuchemos la siguiente conversación entre dos sujetos: A: No has visto el cierre de la bolsa hoy, ¿verdad? ...

A elige dos números con una distribución de probabilidad cualquiera, generador <- function() rlnorm(2, 3, 4) y los guarda ocultos. A B le deja ver uno al azar (sin pérdida de generalidad, el primero). Y B tiene que decidir si el que ve es el más alto de los dos (en cuyo caso, gana un premio, etc.). Veamos a B actuar de manera naive: estrategia.naive <- function(observed) { sample(1:2, 1) } Dejemos a A y B jugar repetidamente a este juego: ...

Lee esto y luego opina: ¿1/2 o 1/3?

Queremos calentar unas empanadas en el horno y, ¡oh desgracia!, no funciona. Pueden pasar dos cosas (independientes entre sí): El horno está estropeado ($A$) El horno está desenchufado ($B$) Hemos observado el evento $A \cup B$ y nos preocupa mucho $P(A | A \cup B)$, es decir, que tengamos que llamar al técnico y comernos frías las empanadas a la vista de que el horno no responde. Sin embargo, observamos rápidamente $B$: que habíamos desenchufado el horno. Luego, de repente, nos encontramos ante el cálculo de $P(A | B, A \cup B)$. Dicho de otra manera, evaluar la probabilidad de que el horno esté estropeado a la vista de que: ...

Tiras tres monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres valores (cara o cruz) iguales? Es, lo sabemos todos, 0.25: de las ocho opciones posibles, solo dos cumplen. Ahora, el argumento falaz —dizque de Francis Galton— que prueba que dicha probabilidad es de 0.5. Es así: de las tres monedas, dos tienen que coincidir necesariamente en valor; entonces la tercera, con probabilidad 0.5, coincidirá con los anteriores y con la misma discrepará. ...