Probabilidad

Un pasaje de un libro que no viene a cuento me puso sobre la pista de una cita de Aristóteles (Retórica, Libro II, Cap. 24), que dice así:

[…] también en los retóricos hay un entimema espurio que se basa en lo que es probable pero no en general, sino probable en determinada circunstancia. Pero ésta no será universal, como lo que dice Agatón:

Quizá alguien diría que eso mismo es probable, que a los mortales les ocurren muchas cosas improbables.

Primero, una brevísima introducción al uso de ensembles en meteorología:

1. Los metereólogos tienen modelos físicos deterministas que permiten proyectar a futuro el estado presente del tiempo (o de otros estados presentes hipotéticos).
2. Sin embargo, esos modelos (tanto por su propia naturaleza como por las simplificaciones computacionales sin cuyo concurso las proyecciones serían materialmente inviables) son muy sensibles a las condiciones iniciales de partida (véase la gráfica anterior).
3. Luego se realizan ensembles, i.e., proyecciones partiendo de pequeñas variaciones de las situaciones iniciales, que luego se agregan de cierta manera (para más detalles, consúltese el libro Física del caos en la predicción meteorológica y, en particular, el capítulo 27).

Y ahora, las preguntas son:

El otro día se propuso un problema de probabilidad sencillo en su planteamiento aunque de solución no trivial (véase el planteamiento y una solución) que tenía como intención original poner a prueba las intuiciones de las probabilidades de eventos.

El problema se enuncia así:

Una pequeñísima proporción de recién nacidos tienen cierto rasgo (genético). Se realizan dos pruebas, A y B, para detectarlo. Sin embargo, las pruebas no son muy precisas:

• El 70% de los recién nacidos con test A positivo tienen el rasgo (y el 30% no).
• El 20% de los recién nacidos con test B positivo tienen el rasgo (y el 80% no). También se sabe que las pruebas son independientes en el siguiente sentido:
• Si un recién nacido tiene el rasgo, el resultado de la prueba A es independiente del de la prueba B.
• Si un recién nacido no tiene el rasgo, el resultado de la prueba A es independiente del de la prueba B. Ahora, un recién nacido es positivo en ambas pruebas. ¿Puedes estimar la probabilidad de que tenga el rasgo?

Una solución algebraica (con el teorema de Bayes de por medio) puede consultarse en uno de los enlaces proporcionados más arriba. Como anunciaba, sin ser extraordinariamente compleja, no es trivial. También será útil pensar, más que en términos de probabilidades, de odds.

Esta entrada trata de explicar cómo utilizar el llamado principio de mediocridad para la estimación de la duración de cosas cuando apenas se sabe nada al respecto. En ese sentido, extiende y fundamente lo que puede leerse aquí.

Planteamiento

Consideremos el conjunto $A$ de todos los pares de números (reales, que todo hay que decirlo) $0 < a < b$.

En todo lo que sigue, $b$ se interpretará como la duración total de algo (la existencia de la especie humana, el número de semanas que una obra teatral estará en cartel, etc.) y $a$ el momento en el que un observador ha contemplado la existencia de ese algo.

Hace un tiempo traje a estas páginas (aquí) la definición de probabilidad (en su variante subjetivísima) que dizque Sam Savage aprendió de su padre. La reproduzco aquí:

He [L.J. Savage] encouraged me from a young age to think of the probability of an event as the amount I would pay for a gamble that would pay $100 if the event occurred.

Pero, ¿cómo hacen los pros? ¿Cómo hacen realmente los que se ganan la vida haciendo estimaciones probabilísticas subjetivas?

1. Considérese el siguiente juego:
   1. Hay tres sobres indistinguibles sobre una mesa.
   2. Uno de ellos contiene un premio.
   3. Puedes elegir o bien uno de ellos o bien dos de ellos al azar.
2. Convénzase uno de que es mejor elegir dos sobres que uno: tienes una probabilidad de ganar el premio de 2/3 contra la de 1/3 si eliges solo uno.
3. Convénzase uno de que el problema de Monty Hall en su formulación habitual es solo una reformulación artificiosa y engañosa del juego anterior.

I.

A Treatise on Probability, la obra de Keynes (sí, el famoso) de 1921, es un libro muy extraño que se puede leer de muchas maneras. Puede servir, si se hace poco caritativamente, para denunciar el lastimoso estado en el que se encontraba la probabilidad antes de la axiomatización de Kolmogorov, 12 años depués de su publicación. O también, si se hace más cuidadosamente, para rescatar una serie de consideraciones que aun hoy muchos hacen mal en ignorar.

[Menos mal que se me ha ocurrido buscar en mi propio blog sobre el asunto y descubrir —no lo recordaba— que ya había tratado el asunto previamente en entradas como esta, esta o esta.]

El problema de la propagación de errores lo cuentan muy bien Iñaki Úcar y sus coautores aquí. Por resumirlo: tienes una cantidad, $latex X$ conocida solo aproximadamente —en concreto, con cierto error— e interesa conocer y acotar el error de una expresión $latex f(X)$.

Esta entrada abunda sobre una de la semana pasada sobre el llamado efecto Roseto. El Cournot al que alude el titulo es el Cournot famoso (1801-1877) al que, a pesar de ser más conocido por sus aportaciones a la economía, debemos una Exposition de la théorie des chances et des probabilités de 1843.

En su párrafo 114 critica explícitamente el tipo de conclusiones a las que llegan los descuidados exégetas del asunto Roseto y que Stigler comenta así:

Acabo de subir un nuevo vídeo a Youtube,

en el que discuto dos problemas: uno, general, que es el que indica su título; y otro más concreto que es su motivación última: si es posible asegurar que la combinación de vacunas es segura a través de un estudio realizado con 600 sujetos, tal como el realizado por el ISCIII recientemente.

La probabilidad se predica de eventos de muy distintas características. Existe un arco entero de casos en cuyos extremos opuestos podemos encontrar los eventos:

• Obtener cara al lanzar esta moneda.
• Que X gane las elecciones que ocurrirán en un mes.

La principal diferencia, por si alguien lo lo ha advertido, es que el primer tipo de evento puede repetirse cuantas veces se desee mientras que esas elecciones ocurrirán una única vez. Existen muchas interpretaciones de la probabilidad bajo las que pueden entenderse ambos problemas y todas (¡o casi!), al final, son compatibles de alguna manera con los axiomas de Kolmogorov: podría decirse que se trata de dos modelos distintos para un mismo formalismo, el de Kolmogorov.

Después de haber estado un tiempo —hasta tener que interrumpirlo para convertirme en un elemento socialmente productivo— leyendo sobre cómo la teoría de la probabilidad extiende la lógica (Jaynes, Hacking y compañía), he incurrido en Probability theory does not extend logic. Se trata de un ensayito recomendable pero sobre el que advierto a sus posibles lectores que decae rápidamente de mucho al fango.

De él extraigo una interpretación muy heterodoxa de la probabilidad condicional expresada en términos de la lógica de predicados. Dice el autor que una expresión del tipo

La falacia, para aquellos que no la conozcan, está descrita aquí. El ejemplo más citado al respecto es el de Linda:

Linda tiene 31 años de edad, soltera, inteligente y muy brillante. Se especializó en filosofía. Como estudiante, estaba profundamente preocupada por los problemas de discriminación y justicia social, participando también en manifestaciones anti-nucleares. ¿Que es más probable?

1. Linda es una cajera de banco.

2. Linda es una cajera de banco y es activista de movimientos feministas.