Desigualdad de Schwarz y su aplicación al consumo eléctrico doméstico
Como saben los viejos del sitio, instalé un dispositivo en el cuadro que mide mi consumo eléctrico en tiempo real. Lo que hace el dispositivo es muy simple. Por un lado, mide las funciones $i(t)$ y $v(t)$ (intensidad y voltaje); por el otro lado, calcula las integrales
$$\int_0^T i(t) v(t) dt,$$
$$\int_0^T i^2(t) dt$$
y
$$\int_0^T v^2(t) dt.$$
Con un $T$ pequeño (unos segundos), muestra en una app los valores
$$\frac{1}{T}\int_0^T i(t) v(t) dt,$$
$$\sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2(t) dt}$$
y
$$\sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T v^2(t) dt}.$$
Por ejemplo, ahora mismo,
El Power(W) es la primera integral, la potencia real consumida en mi hogar. Las otras dos, son las conocidas como $I_{rms}$ y $V_{rms}$ —Current(mA) y Voltage(V) en la app— donde rms significa lo mismo que siempre: root mean square.
De la física mal aprendida de bachillerato sabemos que $P = IV$, pero en este caso, $I_{rms} \times V_{rms} = 305.44 W > 241.7 W$. La explicación, la desigualdad de Schwarz:
$$\int_0^T i(t) v(t) dt \le \sqrt{\int_0^T i^2(t) dt} \sqrt{\int_0^T v^2(t) dt}.$$
La igualdad, además, sólo se alcanza si $i(t) = \lambda v(t)$ para algún $\lambda$ real, algo que sucede a menudo en muchos libros.
Que $i(t)$ y $v(t)$ no sean proporcionales puede tener muchas causas de las que los libros tienden a mencionar las viejunas (y omitir otras más modernas, como las que tienen que ver con fuentes conmutadas, etc., relacionadas con la profusión de cachivaches electrónicos).
En ningún sitio he mencionado que $v(t)$ es —aproximadamente— una sinusoide porque, realmente, no hace falta saberlo: podría ser cualquier función.
La expresión de la derecha se llama energía aparente que, por la desigualdad de Schwarz, es siempre superior a la real, la de la izquierda. Para el que quiera saber más sobre el asunto, he preparado esto donde se analiza un circuito con una resistencia y un condensador y se extraen conclusiones muy jugosas.
