El "teorema" sobre las sumas de lognormales no es solo falso sino que, además, es innecesario (en muchos casos)

I.

Hace un tiempo, reproduje el enunciado del siguiente teorema:

La suma de lognormales (independientes y con parámetros similares) es lognormal.

El teorema no es cierto. No puede serlo tanto por motivos teóricos como meramente empíricos. Es fácil

1. tomar 3000 muestras de una lognormal con parámetros cualesquiera,
2. sumarlos por tríos para obtener 1000 muestras $x_i$ de su suma,
3. ajustar la mejor lognormal que se ajusta a ellos (pista: si se usa MV, los parámetros ajustados son la media y la desviación estándar de $\log x_i$),
4. comparar las dos muestras (p.e., vía qqplots).

II.

Pero sí que es cierto que:

1. la suma de lognormales tiene aspecto lognormal (al menos, en muchos casos),
2. en muchas aplicaciones —algunas de las cuales son muy relevantes hoy en día, como se verá— hay datos que son sumas de lognormales y,
3. finalmente, que a quienes trabajan en esas aplicaciones les viene muy bien un teorema en esos términos porque facilita la implementación de soluciones.

Uno de esos ámbitos en los que aparecen este tipo de datos es el de las ventas por internet a través de plataformas como Amazon o similares. Si uno examina las ventas de una empresa determinada a través de estas plataformas, sucede que:

1. Los precios de los productos que vende la empresa tienen —esta es una regularidad empírica que, como todas, tendrá sus excepciones— distribución lognormal. Sin ir más lejos, la compañía Ibérica de Cositos SA, vende fundamentalmente cositos; pero también los cositos ultra, más caros y esporádicamnete, algunos cositos de edición limitada a un precio mucho mayor; sin olvidar los packs de 12 cositos, por supuesto; por otra parte, también vende el cable de alimentación de los cositos, la carcasa de los cositos, juegos de limpieza de cositos y ruedas de repuesto para los cositos, que se venden a una fracción de lo que cuesta el cosito estándar. Evidentemente, distribución lognormal.
2. La plataforma proporciona información del tipo: en el día tal, para el anuncio cual, se realizaron 97 clicks y se consumaron 3 ventas por un importe conjunto de 152.28 euros.

Esos 152.28 euros corresponden a 3 ventas, pero se desconoce el precio de cada venta por separado.

La conjunción de los puntos 1 y 2 parecería subrayar la releancia del falso teorema. Pero aún no termina mi entrada.

III.

La clave está en la letra pequeña del punto 2: en el anuncio cual. Típicamente, las empresas crean anuncios (con su foto, su precio, la descripción del producto, etc.) y lo que tiende a suceder —otra regularidad empírica que tendrá sus excepciones— es que:

1. La distribución de los precios medios por anuncio tiene distribución lognormal.
2. La distribución de los precios para cada anuncio —más concretamente, de los precios medios por registro proporcionado por la plataforma— es aproximadamente normal.

Eso justifica modelar el precio del producto descomponiéndolo a través de la suma

$$X = X_e + X_a,$$

donde:

1. $X_e$ es una variable aleatoria lognormal que define la distribución de los precios medios de la empresa (de ahí la $e$) a través de sus anuncios y
2. $X_a$ es una variable aleatoria normal con media cero.

Obviamente, a la hora de modelar, hay que tener en cuenta el número de ventas agrupadas en cada cifra multiplicando la variable aleatoria anterior por el número de ventas.