Estadística

Una pregunta reciente en r-help-es se refería a la comparación en R de las proporciones en tres grupos. Obviando algunas pequeñas complicaciones en el problema, la respuesta canónica podría ser esta:

total <- c(56, 49,51)
positivos <- c(14, 10, 17)
prop.test(tmp$positivos, tmp$positivos + tmp$negativos)

# 3-sample test for equality of proportions without continuity correction
#
# data:  tmp$positivos out of tmp$positivos + tmp$negativos
# X-squared = 2.2289, df = 2, p-value = 0.3281
# alternative hypothesis: two.sided
# sample estimates:
#   prop 1    prop 2    prop 3
# 0.2500000 0.2040816 0.3333333

Los grupos no parecen ser desiguales.

A veces se hacen encuestas sobre temas sobre los que los encuestados son reticentes a revelar la verdad (p.e., ¿es Vd. un zombi?). Un procedimiento conocido para recabar tal tipo de información es el siguiente:

• Se le invita al encuestado a tirar al aire una moneda con las caras etiquetadas con sí y no; la moneda no es una moneda porque tiene una probabidad conocida (y distinta del 50%) de caer en sí.
• El encuestado responde sí si la respuesta a la pregunta y el resultado de la tirada de la moneda coinciden y no en caso contrario.

A partir de la proporción de respuestas positivas y conocida la probabilidad del sí de la moneda, $latex q$, es posible estimar la proporción $latex \theta$ de respuestas positivas a la pregunta de subyacente de interés en la muestra. Efectivamente, los síes tienen una distribución binomial $latex B(p) = B(q\theta + (1-q)(1-\theta))$ y, una vez estimado (por máxima verosimilitud) $latex \hat{p}$, puede despejarse $latex \hat{p}$ de $latex \hat{p} = q\hat{\theta} + (1-q)(1-\hat{\theta})$ para obtener

El artículo cuya lectura propongo hoy comienza así:

La zombificación es un gran problema de salud y de seguridad pública muy difícil de estudiar usando los métodos tradicionales basados en encuestas. Se cree que la tasa de penetración del teléfono entre la población zombi es pequeña. Además, los zombis son reacios a identificarse como tales al ser encuestados. Las entrevistas personales suponen un riesgo elevado para quienes las realizan. Las esperanzas originalmente depositadas en las encuestas a través del ordenador se desvanecieron ante el riesgo de que los virus propagasen la infección zombi.

Un banco tiene clientes. Los clientes usan la tarjeta de débito. La pueden usar de dos maneras: en cajero o para pagar (por productos y servicios). De cada cliente se tiene una secuencia de transacciones, etiquetadas como 1 o 0 según la use en cajero o no.

Para cada cliente, la secuencia de transacciones (más o menos larga) puede considerarse una secuencia intercambiable y, de acuerdo con el teorema de representación de de Finetti,

Diríase que dos fenómenos vinculados de forma muy significativa guardan una potente relación causal. Creo que eso es lo que entendería cualquiera.

Traigo pues a colación dos fenómenos. El primero es

Y el segundo,

¿Diríais que están vinculados de forma muy significativa?

Pues si en lugar de fiaros de vuestros propios ojos, lo hacéis de Berta Rivera, Bruno Casal o Luis Currais, los autores de The economic crisis and death by suicide in Spain: Empirical evidence based on a data panel and the quantification of losses in labour productivity; o de David Lombao (que divulga el anterior aquí en El Diario), la respuesta es sí.

Mi búsqueda de ejemplos de aplicaciones con prioris informativas me ha conducido a Physiological pharmacokinetic analysis using population modeling and informative prior distributions, un artículo en el que se plantea un modelo jerárquico con dos tipos de distribuciones a priori:

Distribuciones muy informativas. Por ejemplo, el parámetro que representa la proporción del peso del hígado en un adulto, alrededor del 3.3% en promedio, que se modela con una distribución centrada en ese valor y una desviación estándar baja.

La estadística bayesiana se enseña en cursos de estadística (y, frecuentemente, envuelto en un aparataje matemático tan ofuscante como innecesario). Lo malo es que en los cursos y textos de estadística no existe información previa. La información previa sobre los fenómenos en los que se utilizaría la estadística bayesiana están en las aplicaciones, extramuros del muy agnóstico mundo de la estadística y la matemática.

Por eso, a los autores de los libros de estadística bayesiana y quienes enseñan cursos sobre lo mismo, enfrentados al problema de llenar de sentido la problemática distribución a priori, no se les ocurre nada mejor que discutir muy sesudamente la excepción (la priori no informativa) en lugar de la regla (la priori informativa). Reto al lector escéptico a que repase cualquier manual en la materia (que no haya sido escrito por Gelman) y compare el espacio que dedican a la selección de prioris no informativas con el de convenir una priori informativa decente.

La pregunta, a propósito, es esta.

La búsqueda de la causa más probable de un efecto tiene un nombre: razonamiento abductivo. Que el visitante al enlace anterior aprenderá distinto del deductivo y el inductivo.

Y que los viejos de estas páginas reconocerán en esta entrada que la formaliza y cuantifica en un caso concreto.

Sabemos y se sabe desde hace mucho que un sistema lineal de n ecuaciones con m incógnitas, cuando n > m (y especialmente cuando n » m), muy probablemente no tenga solución. No obstante, sistemas así ocurren naturalmente: ahí está el modelo lineal.

En tiempos, al cálculo de los mejores coeficientes para ajustar un conjunto de datos, cuando el número de observaciones excedía el de coeficientes se lo llamó combinación de observaciones. Desde muy pronto se observó que más observaciones conducían a mejores estimaciones. Pero se tardó mucho en establecer cómo.