Probabilidad

Ayer alguien desconocía la distribución de probabilidad de Dirac. No sé ni si se llama así y no aparece en prácticamente ninguno de los manuales al uso.

Es una distribución de probabilidad aleatoria: concentra toda su masa en un punto determinado. Por ejemplo, en el nueve:

Y es útil por:

• Ser límite de cosas.
• Porque las distribuciones discretas (de la Bernoulli en adelante) son mezclas de variables aleatorias de Dirac.
• Porque los modelos con inflación de ceros (o de aquello de lo que estén inflados) son mezclas con variables aleatorias de Dirac.
• …

Va sobre lo de ayer. Hay una demostración de ese resultado contraintutivo aquí. Hay una referencia aquí. Existen discusiones sobre si este resultado se debe a Feller; si no lo es, bien pudiera haberlo sido; la verdad, es muy como de él.

Pero una cosa es la demostración y otra muy distinta, descontraintuitivizar el resultado. Para ello, escuchemos la siguiente conversación entre dos sujetos:

A: No has visto el cierre de la bolsa hoy, ¿verdad?

A elige dos números con una distribución de probabilidad cualquiera,

generador <- function() rlnorm(2, 3, 4)

y los guarda ocultos. A B le deja ver uno al azar (sin pérdida de generalidad, el primero). Y B tiene que decidir si el que ve es el más alto de los dos (en cuyo caso, gana un premio, etc.). Veamos a B actuar de manera naive:

estrategia.naive <- function(observed) {
  sample(1:2, 1)
}

Dejemos a A y B jugar repetidamente a este juego:

Hace unos años, cuando aún no me había avivado en estos temas, recibí una llamada que me puso muy contento: en un ayuntamiento de nosedónde reconocían mis muchos méritos estadísticos y computacionales y me invitaban a participar en una licitación a vaya Vd. a saber qué cosa. Pero, vamos, lo que pasaba, como tantísimas veces, es que tenían ya escogido a un proveedor y necesitaban a dos comparsas para salvar el trámite burocrático de contar con tres propuestas.

Leyendo The Tiger That Isn’t di con una manera alternativa para explicar la llamada falacia del fiscal de la que ya me he ocupado aquí y aquí.

Relata lo ocurrido en un pueblo inglés en el que una noche, unos vecinos (presuntamente), descendientes sin duda de aquellos campesinos búlgaros que huían de la vacuna, echaron abajo una antena de telefonía móvil que tenía al pueblo en vilo (la historia, aquí). Porque, resulta, alrededor de ella se habían dado recientemente n casos de cáncer: aquello era un clúster de cáncer. Y puestos a buscar culpables, ¿por qué no el electromagnetismo?

Lee esto y luego opina: ¿1/2 o 1/3?

Escribo esta entrada con cierta prevención porque soy consciente de que dan pábulo a determinadas teorías conspiranoicas de las que soy declarado enemigo. Pero es que los números de muertos en carretera por accidente en España en los últimos años,

(extraídos de aquí) dan que pensar: la varianza de las observaciones correspondientes a los años 2013, 2014 y 2015 es muy baja, demasiado baja. Al menos, si se da como bueno un modelo de Poisson para modelar esos conteos.

Lo dicen Diaconis y sus coautores en Dynamical Bias in the Coin Toss.

Que es un artículo en el que modelan la física de lanzamientos de moneda e incluso y llegan a construir una máquina con el aspecto

que siempre obtiene caras (o cruces).

El quid de la historia es que existen condiciones iniciales de lanzamiento (velocidad inicial, velocidad angular) isoresultado (donde resultado es cara o cruz). Como en

No. Por ejemplo,

set.seed(155)
n <- 1000

x <- rnorm(n)
y <- x + rnorm(n)
z <- y - 1.5 * x

m <- cbind(x, y, z)

print(cor(m), digits = 2)
#      x    y     z
#x  1.00 0.72 -0.41
#y  0.72 1.00  0.34
#z -0.41 0.34  1.00

La correlación de x con y es positiva; también la de y con z. Pero x y z guardan correlación negativa.

Nota: sacado de aquí.

El caso es el siguiente: alguien hace la colada y al ir a tender, observa que los 11 primeros calcetines que saca de la lavadora son distintos. El problema consiste en estimar el número de pares de calcetines en la lavadora.

La solución por máxima verosimilitud es infinitos calcetines. En efecto, cuantos más calcetines hubiese en la lavadora, más probable es obtener 11 de ellos distintos. Y la respuesta es tremendamente insatisfactoria.