La falacia, para aquellos que no la conozcan, está descrita aquí. El ejemplo más citado al respecto es el de Linda:

Linda tiene 31 años de edad, soltera, inteligente y muy brillante. Se especializó en filosofía. Como estudiante, estaba profundamente preocupada por los problemas de discriminación y justicia social, participando también en manifestaciones anti-nucleares. ¿Que es más probable?

1. Linda es una cajera de banco.

2. Linda es una cajera de banco y es activista de movimientos feministas.

Este artículo (sobre si los estadísticos se autoaplican el mismo rigor metodológico a la hora de seleccionar herramientas de análisis que luego exigen a otros) me llevó a este otro artículo donde se menciona una técnica, la inferencia basada en magnitudes, MBI en lo que sigue, por sus siglas en inglés, de la que trata lo que sigue.

Buscaban las autoras del segundo artículo un ejemplo de una técnica de esas que se publican en revistas de metodología estadística que acabara no teniéndose de pie. La encontraron en la MBI, que es una técnica:

El vídeo es

y su objetivo es refutar cierta visión muy extraña de la probabilidad que se oye sostener a cierto tipo de personas de vez en cuando, la de que es un fenómeno subjetivo, acompañado frecuentemente por la todavía más extravagante afirmación de que el azar no existe (salvo, tal vez, en el nivel subatómico).

[Del que ya hablé hace un tiempo desde una perspectiva diferente.]

Prioris

A y B (dos personas) tienen la misma priori Beta(1, 1) —que es uniforme en [0, 1]— sobre la probabilidad de cara de una moneda.

Datos

Entonces A presencia una tirada de la moneda (a la que no asiste B) y es cara. Su priori se actualiza a una Beta(1, 2).

Luego B presencia una tirada de la moneda (a la que no asiste A) y es cruz. Su priori se actualiza a una Beta(2, 1).

Llegaré a la normal. Antes, algo sobre la entropía.

Nos interesa saber y medir el grado de concentración de una distribución. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria con función de densidad $latex f(x)$ y $latex x_1, \dots, x_n$ es una muestra de X, entonces, la expresión

$$ \frac{1}{n} \sum_i f(x_i)$$

da una idea de la concentración vs dispersión de X:

• Si es grande, muchos de los $latex x_i$ procederán de lugares donde $latex f$ es grande; en un caso discreto, que tal vez ayude a mejorar la intuición sobre la cosa, habría muchos valores repetidos.
• Si es pequeño, muchos de los $latex x_i$ procederán de puntos de baja probabilidad; en un caso discreto, aparecerían muchos valores $latex x_i$ diversos y de probabilidad baja.

La expresión anterior converge a

El vídeo es

y si habéis seguido este blog en los últimos tiempos, no hace falta que lo veáis: trata de asuntos la mar de manidos aquí, solo que esta vez en formato audiovisual y dramatizado.

En mi entrada anterior mencioné cómo la suma de cuadrados de normales, aun cuando tengan varianzas desiguales, sigue siendo aproximadamente $latex \chi^2$. Es el resultado que subyace, por ejemplo, a la aproximación de Welch que usa R por defecto en t.test. Puede verse una discusión teórica sobre el asunto así como enlaces a la literatura relevante aquí.

Esta entrada es un complemento a la anterior que tiene lo que a la otra le faltan: gráficos. Al fin y al cabo, es un resultado que se prueba a ojo: efectivamente, la suma de […] tiene aspecto de $latex \chi^2$, determinemos su parámetro.

I.

Si $X_1, \dots, X_{12}$ son uniformes en [0,1] e independientes, entonces $latex X_1 + \dots + X_{12} - 6$ es una variable aleatoria normal.

Puede entenderse como un corolario práctico del teorema central del límite habida cuenta de que la varianza de $latex X_i$ es 1/12 y su media es 1/2.

Es útil porque, se ve, en algunos dispositivos embebidos no se dispone de una librería matemática extensa y, se ve, a veces hace falta muestrear la normal. Más, aquí.

No hay mucho más que decir.

Esta es una cosa bastante contraintituiva. Uno diría que en la moda, pero no es exactamente así.

Veamos qué pasa con la distribución normal conforme aumenta la dimensión.

En una dimensión son más frecuentes los valores próximos al centro:

hist(abs(rnorm(10000)), breaks = 100,
    main = "distribución de la distancia al centro")

Pero en dimensiones más altas (p.e., 10), la cosa cambia:

library(mvtnorm)
muestra <- rmvnorm(10000, rep(0, 10),
    diag(rep(1, 10)))
distancias <- apply(muestra, 1,
    function(x) sqrt(sum(x^2)))
hist(distancias, breaks = 100,
     main = "distribución de la distancia al centro")