Probabilidad

El problema en cuestión, que se ve, surgió durante la II Guerra Mundial, es el siguiente: se capturan tanques del enemigo y se anotan los números de serie, supuestos sucesivos. ¿Cuál es la mejor estimación del número total de tanques fabricados por el enemigo?

Si se capturan k, la distribución del máximo número observado, m, en función del número no observado (nuestro parámetro) de tanques es

$$ f(N;m,k)=\frac{\binom{m-1}{k-1}}{\binom{N}{k}}$$

y como esta función es decreciente en $latex N$, la estimación por máxima verosimilitud es $latex \hat{N} = m$.

Queremos calentar unas empanadas en el horno y, ¡oh desgracia!, no funciona. Pueden pasar dos cosas (independientes entre sí):

• El horno está estropeado ($latex A$)
• El horno está desenchufado ($latex B$)

Hemos observado el evento $latex A \cup B$ y nos preocupa mucho $latex P(A | A \cup B)$, es decir, que tengamos que llamar al técnico y comernos frías las empanadas a la vista de que el horno no responde.

El otro día medio participé en una conversación en Twitter sobre el significado de los odds. Recientemente leí una entrada en la bitácora de un holandés que se quejaba de lo difícil que resulta encontrar un equivalente de esa palabra a su idioma. Pasa lo mismo en español: no existe una traducción directa; no existe, siquiera, el concepto.

Sugiero traducir odds, y lo haré así a lo largo de la entrada, como probabilidades. Al igual que una temperatura puede expresarse en distintas escalas y medidas (Kelvin, Celsius, Farenheit), una misma probabilidad puede expresarse de distintas maneras. Estamos acostumbrados a representarlas como fracciones de la unidad, p.e., 0.25; pero esa misma probabilidad puede expresarse también como 3:1.

Tiras tres monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres valores (cara o cruz) iguales? Es, lo sabemos todos, 0.25: de las ocho opciones posibles, solo dos cumplen.

Ahora, el argumento falaz —dizque de Francis Galton— que prueba que dicha probabilidad es de 0.5. Es así: de las tres monedas, dos tienen que coincidir necesariamente en valor; entonces la tercera, con probabilidad 0.5, coincidirá con los anteriores y con la misma discrepará.

Suponemos que observamos rachas de longitud 2 + rpois(1, 10) de un juego en el que se tiene éxito (1) o se fracasa (0) con probabilidad 1/2. Nos interesa saber si existe eso de las rachas de suerte, es decir, si es más probable que a un éxito le suceda otro o lo contrario.

El observador ve rachas y calcula el número de veces que a un éxito le sigue un éxito y el número de veces que a un éxito le sigue un fracaso así:

¿Os acordáis del problema de la carta del otro día? Lo extraje del libro Risk Savvy de G. Gigerenzer.

Uno de los grandes temas del libro es la distinción entre riesgo e incertidumbre. Se decanta por la perspectiva de Knight discutida en el enlace anterior: en situaciones de riesgo, la distribución de probabilidad es conocida (p.e., juegos de azar) y el aparataje probabilístico puede ser aplicado en su entera potencia matemática. En situaciones de incertidumbre, la situación es distinta y de poco o nada sirven los formalismos.

Hay tres cartas. Una de ellas tiene ambas caras rojas; otra, ambas azules; la última, una roja y una azul. Al azar, te ponen una sobre la mesa. La cara que ves es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara que no ves sea también roja?

—¿Cara (H) o cruz (T)?

—Sí.

Lo siento, ese era otro chiste. Comienzo de nuevo.

—¿Cara (H) o cruz (T)?

—No me fío porque tu moneda es trucha. Salen más H (o T) que T (o H, tanto da).

—Aun así podemos plantear un juego justo.

—¿Cómo?

—Cada uno elige HT o TH. (i) Se tira la moneda dos veces. Si sale HH o TT, GOTO (i). Si sale otra cosa, gana quien haya elegido tal combinación.

Supongamos que los habitantes de un país tienen una probabilidad determinada (y no necesariamente igual) $latex p_i$ de comprar un determinado producto. Supongamos que se lanza una campaña publicitaria que incrementa en una cantidad fija $latex \epsilon$, p.e., 5%, esa probabilidad.

Supongamos, finalmente, que se trata de una cantidad que se desea estimar.

Unos individuos reciben la campaña publicitaria. Otros no. ¿Cuál es la diferencia entre las proporciones de individuos que compran el producto en uno y otro grupo? ¿$latex \epsilon$? ¿Es esa nuestra mejor estimación?

¿Qué significa que [los servicios meteorológicos digan que] hay un 30% de probabilidad de que llueva mañana? Pues resulta que significa distintas cosas para distintas personas, al menos, según A 30% Chance of Rain Tomorrow: How Does the Public Understand Probabilistic Weather Forecasts?

En ese artículo Gigerenzer y sus coautores proponen a una muestra de sujetos las opciones siguientes:

• Mañana lloverá el 30% del tiempo.
• El 30% de los días que siguen a uno como el de hoy, llueve.
• Lloverá en el 30% de la zona

El artículo existe precisamente porque la opción elegida por muchos de los entrevistados no es la que conocen mis lectores sin necesidad de reverlársela.