Hamilton al rescate de Metropolis-Hastings

El algoritmo de Metropolis-Hastings se usa para muestrear una variable aleatoria con función de densidad $p$. Permite crear una sucesión de puntos $x_i$ que se distribuye según $p$.

Funciona de al siguiente manera: a partir de un punto $x_i$ se buscan candidatos a $x_{i+1}$ de la forma $x_i + \epsilon$, donde $\epsilon$ es, muy habitualmente, $N(0, \delta)$ y $\delta$ es pequeño. De otra manera, puntos próximos a $x_i$. Un candidato se acepta (y se convierte en $x_{i+1}$) o se rechaza (y toca probar con otro) según los valores de $p(x_i)$ y $p(x_i + \epsilon)$:

• Si el segundo valor es mayor que el primero, se acepta el candidato.
• Si no, se echa a suertes según su valor relativo.

Todo bien hasta que (p.e., en altas dimensiones) se rechazan casi todos los candidatos y el proceso es muy lento. Además de que, por construcción, $x_{i+1}$ está cerca de $x_i$: la sucesión obtenida no es iid ni por el forro.

¿Existe una manera de conseguir mejores candidatos (i.e., con una menor tasa de rechazo)?

El algoritmo arriba indicado explora todas las direcciones simétricamente. Pero algunas son mejores que otras (George Orwell dixit). ¿Cuálas (una vecina dixit)?

Pensemos en la mecánica clásica. Un objeto se mueve en el espacio impelido por el campo de fuerzas que genera una determinada energía potencial $U$. Seguirá órbitas que explorarán predominantemente zonas de potencial bajo y, desde luego, tendrá vedadas zonas de potencial infinito.

¿Podríamos usar esa propiedad para muestrear $p$? Sí si consideramos, como potencial $-\log p(x)$. Con una elección de equivalente de energía cinética (¿por qué no $v^2$?) se puede construir el hamiltoniano y comenzar a trazar órbitas para obtener candidatos.

Dos problemas:

• El primero es que fijadas unas condiciones iniciales, el hamiltoniano es constante y las órbitas, por ejempo, nunca saldrán de ciertos pozos de potencial, por lo que habrá zonas vedadas de nuevo. La solución pasa por muestrear órbitas distintas correspondientes a condiciones iniciales de velocidad distintas (con una determinada distribución sobre estas velocidades).

• La segunda, sobre la que no he visto nada escrito, es que las partículas pasan proporcionalmente poco tiempo en las zonas de energía potencial baja (que corresponden a las de probabilidad alta). Eso sucede porque en ellas la energía cinética es alta: en plata, las atraviesan a toda leche. Como el cometa Halley, que pasa casi todo el tiempo donde no se lo ve.

Los corolarios, aquí.