La inesperada correlación de los ratios

Tomemos dos variables aleatorias independientes y positivas,

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    set.seed(123)
    n <- 100
    x <- runif(n) + 0.5
    y <- runif(n) + 0.5

No tengo ni que decir que su correlación es prácticamente cero,

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2
    cor(x,y)
    #-0.0872707

y que en su diagrama de dispersión tampoco vamos a poder leer otra cosa:

Ahora generamos otra variable independiente de las anteriores,

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    z <- runif(n) + 0.5

y calculamos el cociente de las primeras con respecto a esta:

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2
    xz <- x / z
    yz <- y / z

¿Independientes? Hummmm…

1
2
    cor(xz, yz)
    # 0.5277787

Parece que no. Porque valores grandes del cociente aplastan a la vez a los valores de x e y y a la inversa. La correlación entre las nuevas variables crece con la del denominador, de hecho.

Así que ¡cuidado al dividir!

Nota: Lo aquí publicado es casi, casi, casi una traducción de esto.